§ 74. Магнито-тормозное излучение

Рассмотрим излучение заряда, движущегося с произвольной скоростью по окружности в постоянном однородном магнитном поле; такое излучение называют магнито-тормозным.

Радиус орбиты и циклическая частота движения сон выражаются через напряженность поля Н и скорость частицы v формулами (см. § 21)

Полная интенсивность излучения по всем направлениям определяется по формуле (73,7), в которой надо положить :

Мы видим, что полная интенсивность пропорциональна квадрату импульса частицы.

Если же мы интересуемся угловым распределением излучения, то надо воспользоваться формулой (73,11).

Интерес представляет интенсивность, усредненная по периоду движения. Соответственно этому будем интегрировать в (73,11) по времени обращения частицы по окружности и разделим результат на величину периода .

Рис. 16

Выберем плоскость орбиты в качестве плоскости ху (начало координат — в центре окружности), а плоскость yz проводим через направление излучения к (рис. 16). Магнитное поле будет направлено в отрицательном направлении оси z (изображенное на рис. 16 направление движения частицы отвечает положительному заряду ). Пусть, далее, — угол между направлением излучения к и осью у, а — угол между радиус-вектором частицы и осью

Тогда косинус угла между направлением к и скоростью v равен (вектор v лежит в плоскости ху и в каждый момент времени перпендикулярен к радиус-вектору частицы). Ускорение частицы w выражаем через поле Н и скорость v согласно уравнению движения (см. (21,1)):

После простого вычисления получим:

(интегрирование по времени заменено интегрированием по ). Процесс интегрирования элементарен, хотя выкладки довольно громоздки. В результате получается следующая формула:

Отношение интенсивностей излучения под углом (перпендикулярно к плоскости орбиты) и под углом (в плоскости орбиты) равно

При это отношение стремится к 1/2, но при скоростях, близких к скорости света, оно становится очень большим. Мы вернемся еще к этому вопросу ниже.

Далее, рассмотрим спектральное распределение излучения. Поскольку движение заряда периодично, то речь идет о разложении в ряд Фурье. Вычисление удобно начать с векторного потенциала. Для его компоненты Фурье имеем формулу (ср. (66,12))

где интегрирование производится вдоль траектории частицы (окружности). Для координат частицы имеем .

В качестве переменной интегрирования выбираем угол Замечая, что

, находим для компоненты Фурье составляющей векторного потенциала

С таким интегралом нам приходилось уже иметь дело в § 70. Он выражается через производную от функции Бесселя:

Аналогичным образом вычисляется :

Компонента же вдоль оси , очевидно, вообще отсутствует.

По формулам § 66 имеем для интенсивности излучения с частотой в элемент телесного угла

Замечая, что

и подставляя выражения (74,6-7), получим для интенсивности излучения следующую формулу (G. A. Schott, 1912):

Для определения полной по всем направлениям интенсивности излучения с частотой это выражение должно быть проинтегрировано по всем углам. Интегрирование, однако, не может быть произведено в конечном виде. Посредством ряда преобразований, использующих некоторые соотношения теории функций Бесселя, искомый интеграл может быть приведен к следующему виду:

Рассмотрим более подробно ультрарелятивистский случай, когда скорость движения частицы близка к скорости света.

Положив в числителе формулы (74,2) v = с, найдем, что полная интенсивность магнито-тормозного излучения в ультрарелятивистском случае пропорциональна квадрату энергии частицы 8:

(74.10)

Угловое распределение излучения в этом случае крайне анизотропно. Оно сосредоточено в основном вблизи плоскости орбиты. Угловую ширину , в которой заключена основная часть излучения, легко оценить из условия Очевидно, что

(74,11)

(этот результат находится, конечно, в соответствии с рассмотренным в предыдущем параграфе угловым распределением мгновенной интенсивности, см. (73,12)).

Специфическим характером обладает в ультрарелятивистском случае также и спектральное распределение излучения (Л. А. Арцимович и И. Я. Померанчук, 1945).

Мы увидим ниже, что в этом случае основную роль в излучении играют частоты с очень большими п. В связи с этим можно воспользоваться асимптотической формулой (70.9), согласно которой имеем:

Подставив в (74,9), получим следующую формулу для спектрального распределения излучения при больших значениях :

При выражение в квадратных скобках стремится к постоянному пределу . Поэтому при и имеем:

(74,14)

При и 1 можно воспользоваться известным асимптотическим выражением функции Эйри (см. примечание на стр. 201 и получить:

т. е. интенсивность экспоненциально падает при очень больших n.

Спектральное распределение имеет, следовательно, максимум при , и основная часть излучения сосредоточена в области частот

Эти частоты очень велики по сравнению с расстоянием сон между двумя соседними из них. Другими словами, спектр излучения состоит из очень большого числа близко расположенных линий, т. е. имеет квазинепрерывный характер. Вместо функции распределения можно поэтому ввести распределение по непрерывному ряду частот пеон, написав

Для численных расчетов удобно выразить это распределение через функции Макдональда .

Путем несложных преобразований формулы (74,13) оно может быть представлено в виде

где обозначено

На рис. 17 изображен график функции .

Наконец, несколько замечаний о случае, когда частица движется не по плоской круговой орбите, а по винтовой траектории, т. е. имеет продольную (по отношению к полю) скорость — угол между . Частота вращательного движения дается той же формулой (74,1), но вектор v описывает не круг, а поверхность конуса с осью вдоль Н и углом при вершине. Полная интенсивность излучения (понимаемая как полная потеря энергии частицей в 1 с) будет отличаться от (74,2) заменой Н на

Рис. 17

В ультрарелятивистском случае излучение сконцентрировано в направлениях вблизи образующих «конуса скоростей». Спектральное распределение и полная интенсивность (понимаемые в том же смысле) получаются из (74,17) и (74,10) заменой . Если же речь идет об интенсивности, наблюдаемой в указанных направлениях удаленным неподвижным наблюдателем, то в формулы надо ввести множитель, учитывающий общее приближение или удаление излучателя (движущейся по кружку частицы) от наблюдателя. Этот множитель дается отношением где — интервал времени между поступлением к наблюдателю сигналов, испускаемых источником с интервалом . Очевидно, что

где — угол между направлениями k и Н (последнее принято за положительное направление скорости ). В ультрарелятивистском случае, когда направление k близко к направлению v, имеем , так что

(74,19)

Задачи

1. Определить закон изменения энергии со временем для заряда, движущегося по круговой орбите в постоянном однородном магнитном поле и теряющего энергию путем излучения.

Решение, Согласно (74,2) имеем для потери энергии в единицу времени:

( — энергия частицы), Отсюда находим:

С увеличением t энергия монотонно падает, приближаясь к значению (полная остановка частицы) асимптотически при .

2. Найти асимптотическую формулу для спектрального распределения излучения с большими значениями для частицы, движущейся по окружности со скоростью, не близкой к скорости света.

Решение. Используем известную формулу теории функций Бесселя:

справедливую при . С ее помощью находим из (74,9):

Эта формула применима при если к тому же мало, то формула переходит в (74,15).

3. Найти поляризацию магнито-тормозного излучения.

Решение, Электрическое поле вычисляется по векторному потенциалу (74,6-7) по формуле

Пусть — единичные векторы в плоскости, перпендикулярной к k, причем параллелен оси лежит в плоскости (их компоненты: ), векторы к образуют правую тройку. электрическое поле будет:

или, опустив несущественные общие множители:

Волна эллиптически поляризована (см. § 48).

В ультрарелятивистском случае для больших и малых углов функции выражаются через и причем в их аргументах полагаем

В результате получим:

При эллиптическая поляризация вырождается в линейную вдоль При больших имеем и поляризация стремится к круговой: интенсивность излучения, однако, становится при этом экспоненциально малой. В промежуточной области углов малая ось эллипса лежит вдоль а большая — вдоль . Направление вращения зависит от знака угла , если направления Н и к лежат по разные стороны от плоскости орбиты, как изображено на рис. 16).