Главная > Теоретическая физика. Т. II. Теория поля
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 70. Излучение при кулоновом взаимодействии

В этом параграфе мы выведем для справочных целей ряд формул, относящихся к дипольному излучению системы из двух заряженных частиц; предполагается, что скорости частиц малы по сравнению со скоростью света.

Равномерное движение системы как целого (т. е. движение ее центра инерции) не представляет интереса, так как не приводит к излучению; поэтому мы должны рассматривать только относительное движение частиц. Выберем начало координат в центре инерции. Тогда дипольный момент системы напишется в виде

где индексы 1 и 2 относятся к обеим частицам, есть радиус-вектор между ними, а — приведенная масса.

Начнем с излучения, сопровождающего эллиптическое движение двух притягивающихся по закону Кулона частиц. Как известно из механики (см. I § 15), это движение может быть описано как движение частицы с массой по эллипсу, уравнение которого в полярных координатах имеет вид

где большая полуось а и эксцентриситет равны

Здесь есть полная энергия частиц (без энергии покоя!), отрицательная при финитном движении; — момент количества движения; а — постоянная закона Кулона:

Зависимость координат от времени может быть записана в виде параметрических уравнений

(70,4)

Одному полному обороту по эллипсу соответствует изменение параметра от нуля до период движения равен

Определим компоненты Фурье дипольного момента. Ввиду периодичности движения речь идет о разложении в ряд Фурье. Поскольку дипольный момент пропорционален радиус-вектору , то задача сводится к вычислению компонент Фурье от координат Зависимость и у от времени определяется параметрическими уравнениями

Здесь введена частота

Вместо компонент Фурье от координат удобнее вычислять компоненты Фурье от скоростей, воспользовавшись тем, что Имеем:

Но переходя от интегрирования по к интегрированию по имеем, таким образом:

Аналогичным образом находим:

(при переходе от первого интеграла ко второму в подынтегральном выражении пишем ; тогда интеграл от первого члена берется и притом тождественно обращается в нуль).

Наконец, воспользуемся известной формулой теории функций Бесселя

где функция Бесселя целочисленного порядка п. В результате окончательно получаем следующие выражения для искомых компонент Фурье:

(штрих у функции Бесселя обозначает дифференцирование по ее аргументу).

Выражение для интенсивности монохроматических компонент излучения получается подстановкой в формулу

(см. ). Выразив при этом а и через характеристики частиц, получим окончательно:

Выпишем, в частности, асимптотическую формулу для интенсивности очень высоких гармоник (большие ) при движении по близкой к параболе орбите ( близко к 1). Для этого используем асимптотическую формулу

где Ф — функция Эйри (определенная в примечании на стр. 201). Подстановка в (70,8) дает:

Этот результат может быть выражен также и через функции Макдональда :

(нужные для этого формулы приведены в примечаниях на стр. 201, 265).

Рассмотрим далее столкновение двух притягивающихся заряженных частиц. Их относительное движение описывается как движение частиц с массой по гиперболе

(70,11)

где

(70,12)

(теперь ). Зависимость от времени определяется параметрическими уравнениями

(70,13)

где параметр пробегает значения от до Для координат имеем:

(70,14)

Вычисление компонент Фурье (речь идет теперь о разложении в интеграл Фурье) производится в точности аналогично предыдущему случаю. В результате получаем:

(70,15)

где — функция Ганкеля рода ранга и введено обозначение

(70,16)

— относительная скорость частиц на бесконечности; энергия

При вычислении использована известная формула

(70,17)

Подставляя (70,15) в формулу

(см. (67,10)), получим

(70,18)

Большой интерес представляет «эффективное излучение» при рассеянии пучка параллельно движущихся частиц (см. § 68). Для его вычисления умножаем на и интегрируем по всем от нуля до бесконечности. Интегрирование по заменяем интегрированием по (в пределах от 1 до ), воспользовавшись тем, что это соотношение получается из определений (70,12), в которых момент М и энергия связаны с прицельным расстоянием и скоростью посредством

Получающийся интеграл берется с помощью формулы

где — любое решение уравнения Бесселя порядка Имея в виду, что при функция Ганкеля обращается в нуль, получим в результате следующую формулу:

Рассмотрим особо предельные случаи малых и больших частот. В интеграле

(70,20)

определяющем функцию Ганкеля, существенна только та область значений переменной интегрирования в которой экспонента имеет порядок величины единицы.

При малых частотах существенна поэтому область больших . Но при больших имеем Таким образом, приближенно

Аналогичным образом найдем, что

Воспользовавшись, наконец, известным из теории функций Бесселя приближенным выражением (при малых )

( где С — постоянная Эйлера; ) получим следующее выражение для эффективного излучения при малых частотах:

Оно зависит от частоты логарифмически.

При больших частотах в интеграле (70,20) существенны, напротив, малые Соответственно этому разлагаем экспоненту подынтегрального выражения по степеням и имеем приближенно:

Этот интеграл подстановкой приводится к Г-функции, и в результате получается

Аналогичным образом найдем:

Наконец, воспользовавшись известной формулой теории Г-функций

получим для эффективного излучения при больших частотах:

(70,22)

т. е. выражение, не зависящее от частоты.

Перейдем теперь к тормозному излучению при столкновении двух отталкивающихся по закону частиц. Движение происходит по гиперболе

(70,23)

(а и — из (70,12)). Все вычисления для этого случая непосредственно приводятся к произведенным выше, так что нет необходимости производить их заново. Действительно, интеграл

для компоненты Фурье координаты подстановкой приводится к такому же интегралу для случая притяжения, умноженному на то же самое имеет место для .

Таким образом, выражения для компонент Фурье в случае отталкивания отличаются от соответствующих выражений для случая притяжения множителями . В формулах же для излучения появятся, следовательно, лишние множители в частности, для малых частот получается прежняя формула (70,21) (так как при ). Для больших частот эффективное излучение имеет вид

(70,25)

Оно убывает экспоненциально с увеличением частоты.

Задачи

1. Определить полную среднюю интенсивность излучения при эллиптическом движении двух притягивающихся зарядов.

Решение. С выражением (70,1) для дипольного момента имеем для полной интенсивности излучения:

причем мы воспользовались уравнением движения

Координату выражаем через согласно уравнению орбиты (70,2), а интегрирование по времени с помощью равенства заменяем интегрированием по углу (от 0 до ). В результате находим для средней интенсивности:

2. Определить полное излучение AS при столкновении двух заряженных частиц.

Решение. В случае притяжения траекторией является гипербола (70,11), а в случае отталкивания — (70,23). Асимптоты гиперболы образуют с ее осью угол определяемый из а угол отклонения частиц (в системе координат, в которой центр инерции покоится) есть . Вычисление производится так же, как в задаче 1 (интеграл по берется в пределах между ). В результате находим в случае притяжения:

в случае отталкивания:

В обоих случаях под понимается положительный угол, определяемый из соотношения

При лобовом столкновении отталкивающихся зарядов переход к пределу

3. Определить полное эффективное излучение при рассеянии потока частиц в кулоновом поле отталкивания.

Решение. Искомая величина есть

Интегрирование по времени заменяем интегрированием по вдоль траектории заряда, написав , где радиальная скорость выражается через по формуле

Интегрирование по производится в пределах от бесконечности до ближайшего к центру расстояния (точка, в которой и затем от снова к бесконечности; это сводится к удвоенному интегралу от до

Вычисление двойного интеграла удобно производить, переменив порядок интегрирования — сначала до , а затем по . В результате получим:

4. Определить угловое распределение полного излучения при пролете одного заряда мимо другого, если скорость настолько велика (хотя и мала по сравнению со скоростью света), что отклонение от прямолинейности движения можно считать малым.

Решение. Угол отклонения мал, если кинетическая энергия велика по сравнению с потенциальной энергией, порядок величины которой есть . Выберем плоскость движения в качестве плоскости ху с началом координат в центре инерции и с осью х вдоль направления скорости. В первом приближении траектория есть прямая . В следующем приближении уравнения движения дают:

причем

С помощью формулы (67,7) имеем:

где — единичный вектор в направлении . Выражая подынтегральное выражение через и производя интегрирование, получим:

1
Оглавление
email@scask.ru