Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 70. Излучение при кулоновом взаимодействииВ этом параграфе мы выведем для справочных целей ряд формул, относящихся к дипольному излучению системы из двух заряженных частиц; предполагается, что скорости частиц малы по сравнению со скоростью света. Равномерное движение системы как целого (т. е. движение ее центра инерции) не представляет интереса, так как не приводит к излучению; поэтому мы должны рассматривать только относительное движение частиц. Выберем начало координат в центре инерции. Тогда дипольный момент системы
где индексы 1 и 2 относятся к обеим частицам, Начнем с излучения, сопровождающего эллиптическое движение двух притягивающихся по закону Кулона частиц. Как известно из механики (см. I § 15), это движение может быть описано как движение частицы с массой
где большая полуось а и эксцентриситет
Здесь
Зависимость координат от времени может быть записана в виде параметрических уравнений
Одному полному обороту по эллипсу соответствует изменение параметра
Определим компоненты Фурье дипольного момента. Ввиду периодичности движения речь идет о разложении в ряд Фурье. Поскольку дипольный момент пропорционален радиус-вектору
Здесь введена частота
Вместо компонент Фурье от координат удобнее вычислять компоненты Фурье от скоростей, воспользовавшись тем, что
Но
Аналогичным образом находим:
(при переходе от первого интеграла ко второму в подынтегральном выражении пишем Наконец, воспользуемся известной формулой теории функций Бесселя
где
(штрих у функции Бесселя обозначает дифференцирование по ее аргументу). Выражение для интенсивности монохроматических компонент излучения получается подстановкой
(см.
Выпишем, в частности, асимптотическую формулу для интенсивности очень высоких гармоник (большие
где Ф — функция Эйри (определенная в примечании на стр. 201). Подстановка в (70,8) дает:
Этот результат может быть выражен также и через функции Макдональда
(нужные для этого формулы приведены в примечаниях на стр. 201, 265). Рассмотрим далее столкновение двух притягивающихся заряженных частиц. Их относительное движение описывается как движение частиц с массой
где
(теперь
где параметр
Вычисление компонент Фурье (речь идет теперь о разложении в интеграл Фурье) производится в точности аналогично предыдущему случаю. В результате получаем:
где
При вычислении использована известная формула
Подставляя (70,15) в формулу
(см. (67,10)), получим
Большой интерес представляет «эффективное излучение» при рассеянии пучка параллельно движущихся частиц (см. § 68). Для его вычисления умножаем
Получающийся интеграл берется с помощью формулы
где
Рассмотрим особо предельные случаи малых и больших частот. В интеграле
определяющем функцию Ганкеля, существенна только та область значений переменной интегрирования в которой экспонента имеет порядок величины единицы. При малых частотах
Аналогичным образом найдем, что
Воспользовавшись, наконец, известным из теории функций Бесселя приближенным выражением (при малых
(
Оно зависит от частоты логарифмически. При больших частотах
Этот интеграл подстановкой
Аналогичным образом найдем:
Наконец, воспользовавшись известной формулой теории Г-функций
получим для эффективного излучения при больших частотах:
т. е. выражение, не зависящее от частоты. Перейдем теперь к тормозному излучению при столкновении двух отталкивающихся по закону
(а и
для компоненты Фурье координаты Таким образом, выражения для компонент Фурье
Оно убывает экспоненциально с увеличением частоты. Задачи1. Определить полную среднюю интенсивность излучения при эллиптическом движении двух притягивающихся зарядов. Решение. С выражением (70,1) для дипольного момента имеем для полной интенсивности излучения:
причем мы воспользовались уравнением движения Координату
2. Определить полное излучение AS при столкновении двух заряженных частиц.
в случае отталкивания:
В обоих случаях под
При лобовом столкновении отталкивающихся зарядов переход к пределу
3. Определить полное эффективное излучение при рассеянии потока частиц в кулоновом поле отталкивания. Решение. Искомая величина есть
Интегрирование по времени заменяем интегрированием по
Интегрирование по Вычисление двойного интеграла удобно производить, переменив порядок интегрирования — сначала до
4. Определить угловое распределение полного излучения при пролете одного заряда мимо другого, если скорость настолько велика (хотя и мала по сравнению со скоростью света), что отклонение от прямолинейности движения можно считать малым. Решение. Угол отклонения мал, если кинетическая энергия
причем
С помощью формулы (67,7) имеем:
где
|
1 |
Оглавление
|