Если ввести четырехмерную систему координат, на осях которой откладываются четыре компоненты 4-импульса частицы, то
молено рассматривать как нулевую компоненту элемента гиперповерхности, определяемой уравнением
. Элемент гиперповерхности есть 4-вектор, направленный по нормали к ней; в данном случае направление нормали совпадает, очевидно, с направлением 4-вектора
. Отсюда следует, что отношение
как отношение одинаковых компонент двух параллельных 4-векторов, есть величина инвариантная.
Очевидным инвариантом является также доля числа частиц f
, не зависящая от выбора системы отсчета. Написав ее в виде
и учитывая инвариантность отношения (10,1), мы приходим к выводу об инвариантности произведения
Отсюда следует, что функция распределения в системе К. связана с функцией распределения в системе К соотношением
причем
должны быть выражены через
с помощыэ формул преобразования (9,15).
Вернемся к инвариантному выражению (10,1). Если ввести «сферические координаты» в импульсном пространстве, то элемент объема
заменится на
где
— элемент телесного угла для направлений вектора
. Замечая, что
(согласно (9,6)), имеем:
Таким образом, находим, что инвариантно также и выражение
В другом аспекте понятие о функции распределения фигурирует в кинетической теории газов: произведение
есть число частиц, находящихся в заданном элементе объема
и обладающих импульсами в заданных интервалах
Функцию
называют функцией распределения в фазовом пространстве (пространство координат и импульсов частицы), а произведение дифференциалов
— элементом объема этого пространства. Выясним закон преобразования этой функции.
Введем наряду с двумя системами отсчета
еще и систему Ко, в которой частицы с рассматриваемым импульсом покоятся; именно по отношению к этой системе определяется собственный объем
о элемента, занимаемого данными частицами. Скорости систем
относительно системы
совпадают, по определению, со скоростями v и
, которыми обладают эти частицы в системах
. Согласно (4,6) имеем поэтому:
откуда
Перемножив это равенство с равенством
найдем, что
т. е. элемент фазового объема инвариантен. Поскольку инвариантом является, по определению, также и число частиц
то мы приходим к выводу об инвариантности функции распределения в фазовом пространстве:
где
связаны с
формулами преобразования Лоренца.