§ 10. Преобразование функции распределения

В различных физических вопросах приходится иметь дело с пучками частиц, обладающих различными импульсами. Состав такого пучка, его импульсный спектр, характеризуется функцией распределения частиц по импульсам: есть доля числа частиц, обладающих импульсами с компонентами в заданных интервалах (или, как говорят для краткости, число частиц в заданном элементе объема «импульсного пространства»), В связи с этим возникает вопрос о законе преобразования функции распределения от одной системы отсчета к другой.

Для решения этого вопроса выясним предварительно свойства «элемента объема» по отношению к преобразованию Лоренца.

Если ввести четырехмерную систему координат, на осях которой откладываются четыре компоненты 4-импульса частицы, то молено рассматривать как нулевую компоненту элемента гиперповерхности, определяемой уравнением . Элемент гиперповерхности есть 4-вектор, направленный по нормали к ней; в данном случае направление нормали совпадает, очевидно, с направлением 4-вектора . Отсюда следует, что отношение

как отношение одинаковых компонент двух параллельных 4-векторов, есть величина инвариантная.

Очевидным инвариантом является также доля числа частиц f , не зависящая от выбора системы отсчета. Написав ее в виде

и учитывая инвариантность отношения (10,1), мы приходим к выводу об инвариантности произведения Отсюда следует, что функция распределения в системе К. связана с функцией распределения в системе К соотношением

причем должны быть выражены через с помощыэ формул преобразования (9,15).

Вернемся к инвариантному выражению (10,1). Если ввести «сферические координаты» в импульсном пространстве, то элемент объема заменится на где — элемент телесного угла для направлений вектора . Замечая, что (согласно (9,6)), имеем:

Таким образом, находим, что инвариантно также и выражение

В другом аспекте понятие о функции распределения фигурирует в кинетической теории газов: произведение есть число частиц, находящихся в заданном элементе объема и обладающих импульсами в заданных интервалах Функцию называют функцией распределения в фазовом пространстве (пространство координат и импульсов частицы), а произведение дифференциалов — элементом объема этого пространства. Выясним закон преобразования этой функции.

Введем наряду с двумя системами отсчета еще и систему Ко, в которой частицы с рассматриваемым импульсом покоятся; именно по отношению к этой системе определяется собственный объем о элемента, занимаемого данными частицами. Скорости систем относительно системы совпадают, по определению, со скоростями v и , которыми обладают эти частицы в системах . Согласно (4,6) имеем поэтому:

откуда

Перемножив это равенство с равенством найдем, что

т. е. элемент фазового объема инвариантен. Поскольку инвариантом является, по определению, также и число частиц то мы приходим к выводу об инвариантности функции распределения в фазовом пространстве:

где связаны с формулами преобразования Лоренца.