5.4. ПОКАЗАТЕЛИ ЛЯПУНОВА

До сих пор мы рассматривали в основном прогностические критерии хаоса. В этом разделе мы опишем способ, позволяющий диагностировать, находится ли исследуемая система в хаотическом состоянии или нет. Хаос в детерминированных системах подразумевает чувствительную зависимость от начальных условий. Это означает, что две траектории, близкие друг к другу в фазовом пространстве в некоторый начальный момент времени, экспоненциально расходятся за малое в среднем время. Если — мера начального расстояния между двумя исходными точками, то, спустя малое время t, расстояние между траекториями, выходящими из этих точек, становится равным

(5.4.1)

Если система описывается разностными уравнениями или отображекием, то

(5.4.2)

[Основание 2 выбрано в соотношениях (5.4.1), (5.4.2) из соображений удобства, а в остальном произвольно.] Величины и называются показателями Ляпунова.

Превосходный обзор по показателям Ляпунова и их использованию в экспериментах для диагностики хаотического движения опубликованы Вулфом и др. [209]. В этом же обзоре помещены две полезные компьютерные программы для вычисления показателей Ляпунова.

Экспоненциальная расходимость хаотических траекторий может быть только локальной, так как если система ограниченна (а большинство физических экспериментов ограниченно), то d(t) не может возрастать до бесконечности. Следовательно, для того чтобы определить меру расходимости траекторий, необходимо усреднить экспоненциальный рост по многим точкам вдоль траектории, как показано на рис. 5.26. Вычисление показателя Ляпунова начинается в выбора реперной траектории [Вулф и др. [209] называют ее опорной траекторией], точки на соседней траектории и измерения величины . Когда расстояние d(t) становится слишком большим (т. е. рост его отклоняется от экспоненциального поведения), экспериментатор находит новую «соседнюю» траекторию и определяет новое начальное расстояние .

Рис. 5.26. Общий ход изменения расстояния между двумя соседними траекториям, используемый для определения наибольшего показателя Ляпунова.

Показатель Ляпунова можно задать выражением

Критерий хаоса в терминах показателя Ляпунова принимает следующий вид:

(5.4.4)

Должно быть, читатель уже понял, что без компьютера при вычислении показателя Ляпунова не обойтись ни в том случае, когда данные берутся из численного моделирования, ни в том, когда их источником служит физический эксперимент.

Вычислить в явном виде удается лишь в очень немногочисленных учебных примерах. Рассмотрим один из них, связанный с обобщением понятия «показатель Ляпунова» на одномерные отображения:

(5.4.5)

Там, где функция гладкая и дифференцируемая, расстояние между соседними траекториями измеряется величиной . Чтобы убедиться в этом, введем два начальных условия: . Тогда в соотношении (5.4.2)

Следуя соотношению (5.4.3), определить показатель Ляпунова (или характеристический показатель) как

В качестве иллюстративного примера воспользуемся отображением Бернулли

(5.4.8)

(рис. 5.27). Здесь (mod 1) означает дробную часть, т. е.

Рис. 5.27. Хаотическая траектория при отображении Бернулли .

Это отображение многозначно и, как известно, рождает хаос. За исключением разрыва в точке х = 1/2, всюду в остальных точках . Из определения (5.4.7) получаем . Следовательно, в среднем расстояние между соседними точками растет как

Единицами измерения показателя Ляпунова служат биты на одну итерацию. Одна из интерпретаций состоит в том, что при каждой итерации отображения теряется битов информации о начальном состоянии. Чтобы убедиться в этом, запишем в двоичной системе. Например, означает . Таким образом, отображение сдвигает запятую на один знак вправо и отбрасывает целую часть. Следовательно, если мы начинаем с значащих знаков после запятой, то при каждой итерации теряем по одному, т. е. теряем по одному биту информации.

После итераций мы полностью утрачиваем информацию о начальном состоянии системы.

Ранее в этой главе мы узнали, что логистическое, или квадратичное, отображение становится хаотическим, когда управляющий параметр :

(5.4.9)

Рис. 5.28. Показатель Ляпунова как функция управляющего параметра а для логистического отображения (5.4.9).

В этом можно убедиться, вычисляя показатель Ляпунова как функцию параметра а (рис. 5.28). При показатель Ляпунова становится отрицательным в окнах периодичности . При , как было показано, (см., например, Шустер ).

Другой пример отображения, для которого показатель Ляпунова удается вычислить в явном виде аналитически, — отображение «домик»:

Как и в случае отображения Бернулли есть постоянная величина, и показатель Ляпунова оказывается равным [110, с. 416—417]

Мы видим, что при и движение становится хаотическим, но при и траектории регулярны; все точки притягиваются к х = 0 [169, с. 22].