12.6. ОБОБЩЕННЫЕ КОДЫ СРИВЭСТАВЫ

Другим интересным классом альтернантных кодов являются обобщенные коды Сривэставы (рис. 12.4).

Рис. 12.4 Свойства обобщенных кодов Сривэставы

Определение. Положим в проверочной матрице (12.3) альтернантного кода Пусть различных элементов поля ненулевые элементы из Положим также

(заметим, что это многочлен от ), и

так что

Результирующий код называется обобщенным кодом Сривэставы. Таким образом, проверочная матрица для обобщенного кода Сривэставы равна:

где

Исходные коды Сривэставы получаются из, обобщенных как частный случай при для некоторого так что их проверочная матрица имеет вид:

Так как число различных равно то максимально возможное число различных равно так что блоковая длина обобщенных кодов Сривэставы не превосходит

Если в качестве выбираются все элементы поля за исключением то и коды называются примитивными (по аналогии с кодами БЧХ).

Так как обобщенные коды Сривэставы образуют подкласс альтернантных кодов, то для них выполняются неравенства и

Пример. Рассмотрим обобщенный двоичный код Сривэставы с и множеством равным множеству тех элементов поля которые попадают в поле т. е.

где а — примитивный элемент поля Кроме того, выберем для

Таким образом,

Вторая строка равна квадрату первой и поэтому избыточна. Разлагая элементы первой строки по степеням а согласно рис. 4.4, находим

Кодовыми словами являются

Этот -код на самом деле эквивалентен коду Гоппы, рассмотренному в примере 1 из § 12.3.

Упражнения. (14). Показать, что код Сривэставы (при является кодом Гоппы, и, следовательно, для двоичных кодов Сривэставы

(15). Показать, что двоичный код Сривэставы (12.53) при является -кодом и что минимальное расстояние дуального ему кода равно 4.

(16). Показать, что двоичный код Сривэставы с является -кодом и что минимальное расстояние дуального ему кода равно 5.

(17). Доказать, что при обобщенные коды Сривэставы являются кодами МДР. Эти коды иногда называются кодами Габидулина.

(18). Пусть двоичный примитивный обобщенный код Сривэставы с для всех

Доказать, что при код определяется однозначно и равен примитивному коду БЧХ в узком смысле.

(ii). Доказать, что при код также определяется однозначно и что его расширение инвариантно относительно транзитивной группы подстановок.

(19). Доказать следующие свойства для двоичных непримитивных обобщенных кодов Сривэставы с параметрами: примитивный элемент поля различные элементы поля ненулевые элементы поля

Строки подматриц в (12.51) являются избыточными. Следовательно, матрица может быть выбрана в виде правой части равенства (12.52) с заменой на а.

(ii). Код с проверочной матрицей (12.54) является кодом этого типа.

(iv). Если все то .

(v). Если все то расширенный код инвариантен относительно транзитивной группы подстановок.