Главная > Теория кодов, исправляющих ошибки
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

12.3. КОДЫ ГОППЫ

Коды Гоппы являются наиболее интересным подклассом альтернантных кодов. Так же как циклические коды определяются в терминах порождающих многочленов (теорема 1 гл. 7), так и коды Гоппы определяются в терминах многочленов Гоппы G(z). В противоположность циклическим кодам, для которых трудно по порождающему многочлену определить их минимальное расстояние, коды Гоппы обладают тем свойством, что Мы дадим сначала определение этих кодов в терминах

многочленов Гоппы, а затем покажем, что они являются альтернантными.

Определение кода Гоппы длины с символами из поля GF(q) опирается на два объекта: многочлен с коэффициентами из поля для некоторого фиксированного называемого многочленом Гоппы, и подмножество элементов из таких, что для всех Обычно в качестве выбирается подмножество всех элементов поля которые не являются корнями многочлена

С каждым вектором а над GF(q) свяжем рациональную функцию

Определение. Код Гоппы (или состоит из всех векторов а таких, что

или, что эквивалентно, таких, что в кольце многочленов

Если неприводим, то называется неприводимым кодом Гоппы.

На рис. 12.3 приведены основные свойства этих кодов. Примеры приведены после теоремы 6.

Рис. 12.3. Свойства кодов Гоппы

Проверочная матрица Г. Очевидно, что линейный код. Его проверочная матрица может быть найдена из (12.9). Многочлен в кольце многочленов по модулю имеет обратный многочлен (так как он не делит Этот обратный многочлен равен:

действительно,

Следовательно, вектор а лежит в коде тогда и только тогда, когда

как многочлен (а не по модулю

Если

Приравнивая согласно (12.10) нулю коэффициенты при видим, что а принадлежит коду тогда и только тогда, когда где

проверочная матрица кода

Так как матрица обратима, то согласно упражнению (31) гл. 7 проверочная матрица может быть записана в иной форме:

Эта форма обычно проще.

Проверочная матрица с элементами из GF(q) получается из (или ) заменой каждого элемента матрицы соответствующим вектором-столбцом длины над

Сравнивая (12.11) с (12.13), видим, является альтернантным кодом

Следовательно, размерность кода не меньше чем а минимальное расстояние не меньше чем

На самом деле легко указать обобщенный код Рида — Соломона, который задает код

Теорема представляет собой ограничение на подполе GF(q) кода где

Доказательство (i). Выберем Тогда

где многочлен, степень которого меньше чем Таким образом,

Пусть

Тогда для всех Кроме того, Так как многочлен определяется своими значениями в точках, то Таким образом,

и, следовательно, Итак,

(ii). Обратное включение доказывается аналогичным образом, и мы оставляем это доказательство читателю.

Из теоремы 2 получаем следующую теорему.

Теорема 5. Код, дуальный коду Гоппы, равен:

где

Упражнение. (2). Доказать непосредственно, что коды при при

дуальны.

Двоичные коды Гоппы. Как и для двоичных кодов БЧХ, в двоичном случае для кодов Гоппы исследования продвинуты несколько дальше (ср. § 7.6). Предположим, что двоичный код Гоппы Пусть -слово кода веса причем положим

Тогда

и согласно (12.8)

По определению кода все а, различны, так что многочлены не имеют общих делителей и дробь (12.15) несократима. Так как то многочлены взаимно просты, и, следовательно, из (12.15) вытекает, что

Так как все операции выполняются по модулю 2, то содержит четные степени и является полным квадратом. Пусть - полный квадрат наименьшей степени, делящийся на Тогда

Отсюда заключаем, что

В частности, если то Следовательно, для минимального расстояния кода выполняется неравенство

Важнейшим частным случаем является следующий.

Теорема 6. Предположим, что многочлен не имеет кратных корней, так что Тогда минимальное расстояние кода удовлетворяет условию

Если многочлен не имеет кратных корней, то код называется сепарабельным кодом Гоппы.

Примеры двоичных кодов Гоппы. (1). Выберем где примитивный элемент поля, Для всех выполняется условие так как корни многочлена лежат в полях и не лежат в поле (см. теорему 8 гл. 4). Получаем неприводимый код Гоппы для размерности с минимальным расстоянием Согласно (12.12) проверочная матрица этого кода равна:

Из рис. 4.5 находим:

Кодовыми словами являются они образуют -код Гоппы. Добавляя общую проверку на четность и переупорядочивая столбцы, получаем следующий -код:

Этот код оказывается циклическим. Объяснение этого явления дано в § 12.5

Этот пример может быть также использован для иллюстрации теоремы 4. Здесь так как для всех Таким образом, теорема 4 утверждает, что [8, 2, 5]-код Гоппы является ограничением на подполе кода с порождающей матрицей

Легко проверить, что:

(2) Выберем Опять Для всех (на основании теоремы 8 гл. 4). Тогда является [32, 17, 7] неприводимым кодом Гоппы, проверочная матрица которого согласно (12.12) имеет вид (здесь а — примитивный элемент поля

(см. скан)

Здесь мы воспользовались таблицей поля приведенной на рис. 4.5. Весовой спектр кода найденный на имеет вид:

(3). Конечно, совсем не обязательно ограничивать возможные значения коэффициентов многочлена нулем и единицей. Например, можно выбрать где примитивный элемент поля GF(24). По теореме 19 гл. 9 этот многочлен неприводим в поле GF(24), так как Следовательно, в качестве можно выбрать все поле GF(24). Это приводит к неприводимому -коду Гоппы.

Упражнение. (3). Найти проверочную матрицу этого кода.

(4). Неприводимые коды Гоппы. Рассмотрим неприводимый в многочлен Корни этого многочлена лежат в поле следовательно, по теореме 8 гл. 4 в полях Предполагая не делящимся на 3 и выбирая получаем неприводимый код Гоппы с параметрами

Как мы видели в примере (2), при границы для являются точными.

С другой стороны, выбирая в качестве неприводимый многочлен третьей степени над получаем код с параметрами (12.20) для произвольного

В общем случае, выбирая в качестве произвольный неприводимый многочлен над степени получаем неприводимый код Гоппы с параметрами

для произвольных целых чисел Сопоставимые примитивные коды БЧХ имеют параметры

т. е. при одинаковых они имеют на один информационный символ меньше.

Упражнения (4). Пусть Многочлен степени с коэффициентами из поля и пусть наименьшее поле, содержащее все корни многочлена Доказать, что для построения кода Гоппы с параметрами (12.21) можно выбирать для любого такого, что и

(5). Коды БЧХ. Примитивные коды БЧХ в узком смысле являются частным случаем кодов Гоппы. Выберем

где примитивный элемент поля Тогда из (12.12) получаем:

что дает проверочную матрицу кода если заменить на

Для построения двоичных кодов БЧХ, исправляющих ошибок, надо выбрать

В примерах (1) и получилось, что значения совпадают с граничными значениями, приведенными на рис. 12.3. Однако, как показывает пример" кодов БЧХ, это не всегда так.

Задача (нерешенная). (12.1). Найти истинную размерность и минимальное расстояние кодов Гоппы.

Упражнение. (5). Другая форма проверочной матрицы. Предположим, что не имеет кратных корней, скажем, где различные элементы поля Показать, что если и только если для матрицы где для

Замечание. Заметим, что в этом упражнении матрица является матрицей Коши (см. упражнение (7) гл. 11). Если проверочная матрица кода, исправляющего ошибок, то согласно теореме 10 гл. 1 любые столбцов матрицы должны быть линейно независимыми. В классической теории матриц известны два вида комплексных матриц, обладающих тем свойством, что любая их квадратная подматрица является невырожденной: матрицы Вандермонда и матрицы Коши—(см. лемму 17 гл. 4 и упражнение (7) гл. 11). Матрицы Вандермонда лежат в основе определения кодов БЧХ (§ 7.6), и, как мы только что увидели, матрицы Коши лежат в основе сепарабельных кодов Гоппы.

Упражнения. (6). Коды Гоппы с для некоторых называются комулятивными. Доказать, что между кодом и кодом существует взаимно однозначное соответствие, сохраняющее вес.

Пример (1) подсказывает следующее упражнение.

(7). (Кордаро и Вагнер.) Пусть — двоичный -код с наибольшим возможным исправляющий большинство ошибок веса Положим Доказать, что если сравнимо с 0 или 1 по модулю 3, и если ; показать также, что порождающая матрица, кода может быть выбрана в виде матрицы, содержащей столбцов, равных равных и остальных столбцов, равных

1
Оглавление
email@scask.ru