7.7. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТРИЦЫ НАД GF(q^m) ДЛЯ ЗАДАНИЯ КОДА НАД GF(q)

В данном параграфе более подробно изучается вопрос о том, как матрица над большим полем может быть использована для задания кода над маленьким полем GF(q).

Предположим сначала, что код задан проверочной матрицей над Более точно, пусть где матрица ранга над Здесь для

Пусть далее код над состоящий из всех векторов а таких, что Наг

Другим способом получения является следующий. Выберем базис поля над GF(q) и запишем:

Определим как -матрицу, которая получается из путем замены каждого элемента соответствующим вектор-столбцом над GF(q). Таким образом,

Тогда

Таким образом, для определения можно использовать и и Ранг над GF(q) не превосходит так что в предположении, что является -кодом.

Мы можем также рассмотреть код над состоящий из всех векторов таких, что Тогда является -кодом над Так как то каждое слово из лежит и в коде Код состоит точно из тех слов кода все компоненты которых лежат в поле GF(q). Введем для этого следующее обозначение:

и будем называть код ограничением кода на подполе (иногда называют подкодом над подполем).

В общем случае, если -некоторый -код над то его ограничение на подполе GF(q) является -кодом, где

Например, пусть - [7, 6, 2]-код БЧХ над с порождающим многочленом где а — примитивный элемент поля Пусть — ограничение Кодовое слово лежит в Следовательно, содержит На самом деле так как минимальное расстояние кода равно по меньшей мере 2.

Для определения кода, дуального через код, дуальный удобно воспользоваться следом отображающим поле в поле GF(q). След определяется равенством

(см. § 4.3). Пусть код над состоящий из всех различных векторов вида

Тогда является -кодом над называется следом кода

Теорема 11. (Дельсарт.) Дуальным к ограничению кода на подполе является след от кода, дуального исходному коду, или

Доказательство, Для доказательства этого включения мы должны показать, что если а принадлежит левому подмножеству, то для всех Действительно, для всех Следовательно,

или, что эквивалентно,

Для доказательства этого включения мы должны показать, что если а принадлежит его левой части, то По определению для всех где Если то и принадлежит при всех

Следовательно, для всех имеет место

так что

Например, Порождающий многочлен дуального упомянутому выше -коду равен След этого элемента равен и мы получаем таким путем

Упражнения. (31). Пусть С — обратимая -матрица над и Пусть Показать, что что матрица задают один и тот же код.

(32). Задача, обратная предыдущей: пусть -код над GF(q). Доказать, что если то существует -матрица над полем такая, что

(33). (а). Пусть — циклический код над с нулями где Доказать, что является циклическим кодом с нулями где

Для иллюстрации пункта выберем в качестве -код над с порождающим многочленом где а — примитивный элемент поля Показать, что