21.9. t-СХЕМЫ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ТАБЛИЦЫ

Подмножество У множества X называется -схемой, если Следующая теорема оправдывает это определение.

Теорема 15. Подмножество У в схеме Джонсона является -схемой тогда и только тогда, когда векторы из У образуют обычную схему для некоторого

Доказательство. Заметим, что согласно (21.48) в любой схеме отношений подмножество является -схемой, если и только если

где характеристический вектор множества У, введенный при доказательстве теоремы 12.

Предположим, что векторы из У образуют схему. Для значений пусть матрицы, определенные в упражнении (11). Тогда представляет собой вектор-столбец, элемент которого равен числу векторов из У, содержащих вектор веса Так как векторы из У образуют также схему с параметром то

Так как то

Матрицы образуют базис алгебры и поэтому равенство (21.54) выполняется для всех матриц из в частности, справедливо равенство

Но, как мы знаем,

следовательно,

и согласно (21.53) У является -схемой в схеме отношений.

Обратно, если У — -схема в схеме отношений, то следовательно, так как матрица неотрицательно определена. Проводя предыдущее доказательство в обратном порядке, получаем, что обычная -схема.

Например, пусть У состоит из 14 слов -кода Хэмминга веса 4. Внутренний спектр и его преобразование имеют вид

и действительно, эти кодовые слова образуют 3-(8, 4, 1) схему.

Теорема 16. Подмножество У является -схемой в схеме Хэмминга, если и только если векторы из У образуют ортогональную таблицу размера ограничениями, двумя уровнями, силы и индекса

Доказательство. См. теорему 8 гл. 5 и § 11.8.

ЗАМЕЧАНИЯ К ГЛ. 21

(см. скан)

(см. скан)