9.5. ДЛИННЫЕ КОДЫ БЧХ

Границы Варшамова-Гилберта (теорема 12 гл. 1, теорема 30 гл. 17) устанавливают, что при фиксированном существуют двоичные -коды с где -функция, обратная энтропии (см. § 10.11). Однако, за исключением случаев до сих пор неизвестны коды, достигающие этой границы.

Определение. При фиксированном семейство кодов над GF(q) называется хорошим, если оно содержит бесконечную последовательность кодов -код) такую, что и скорость и отношение стремятся к ненулевому пределу при

К сожалению, как мы сейчас увидим, примитивные коды БЧХ этим свойством не обладают — асимптотически они плохи!

Теорема 13. Не существует бесконечной последовательности примитивных кодов БЧХ над GF(q) таких, что оба отношения отделены от нуля

Доказательство. Предположим, что последовательность таких кодов: -код, причем Пусть — код БЧХ длины с конструктивным расстоянием Согласно теореме 6 истинное минимальное расстояние кода не превосходит следовательно,

Выберем так, чтобы выполнялись условия и пусть код БЧХ длины и конструктивным расстоянием Ясно, что так что

Далее

Пусть Так как то не может расти бесконечно, пусть, скажем, Согласно теореме 12

Так как целое число, заключенное между то различных коэффициентов существует лишь конечное число. Пусть Тогда

Следовательно, при

Но из (9.19) имеем:

что приводит к противоречию.

Итак, длинные коды БЧХ являются плохими; что можно сказать о других циклических кодах? Ответ на этот важный вопрос остается открытым

Задача (нерешенная). (9.2). Имеются ли хорошие циклические коды над GF(q) при фиксированном