Глава 5. Дуальные коды и их весовые спектры

5.1. ВВЕДЕНИЕ

Основным результатом этой главы является неожиданная теорема 1, утверждающая, что весовая функция кода ортогонального к двоичному линейному коду однозначно определяется весовой функцией исходного кода . В действительности она задается линейным преобразованием весовой функции кода Эта теорема доказывается в § 5.2. Если то же самое преобразование применить к спектру расстояний нелинейного кода, то мы получим множество неотрицательных чисел с очень полезными свойствами (§ 5.5). Для изучения нелинейных кодов нам необходимо развить некоторый алгебраический аппарат, а именно: многочлены Кравчука (конец § 5.2), групповые алгебры (§ 5.3) и характеры (§ 5.4). В § 5.6 мы вернемся к линейным кодам и рассмотрим несколько различных типов весовых функций недвоичных кодов. Для каждого из них справедлив результат, аналогичный теореме 1, а именно: весовой спектр дуального кода задается линейным преобразованием весового спектра кода

Весьма общий результат такого рода представляет собой теорема 14. Однако наиболее полезными следует считать результаты, относящиеся к полной весовой функции (теорема 10) и весовой функции Хэмминга (теорема 13). Последний раздел (§ 5.7) посвящен дальнейшим свойствам многочленов Кравчука.