6.3. ЯВНАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ СПЕКТРА ВЕСОВ И РАССТОЯНИЙ

Теорема 2. Если то явная формула для спектра расстояний выраженная через имеет следующий вид:

где (Условимся, что произведение пустого множества сомножителей равно 1.)

Доказательство. Как и в § 5.2, продифференцируем раз выражение (6.1), разделим результат на и положим Это дает уравнений:

Для того чтобы их решить, положим где

Матрица коэффициентов при неизвестных для обеих систем (6.3) одна и та же и равна:

Матрица, обратная получается следующим образом. Пусть

Разложим по биномиальным коэффициентам, а именно:

где

Ясно, что поэтому

Умножим теперь матрицу на векторы-столбцы, стоящие в правой части каждой из систем уравнений (6.3). В результате получим, что

Так как

то

Теорема 3. Если то для всех Доказательство. Так как условие влечет то единственными возможными ненулевыми числами являются Из леммы 1 следует, что для Поэтому числа удовлетворяют системе уравнений (6.2), и к ним применимо доказательство теоремы

Упражнение. (4). Получить, используя теорему 2, спектр расстояний в коде Нордстрома — Робинсона если известно, что расстояния в этом коде принимают значения 0, 6, 8, 10, 16, а d=6.

Теорема 4. Предположим, что Тогда для всех и

Доказательство повторяет доказательства теорем

Следствие 5. Если то для всех

Доказательство. Спектры представляют собой преобразования Мак-Вильямс .

Теорема 6. Если или то код инвариантен относительно расстояния.

Доказательство. Теорема 3 и следствие 5 верны для сдвига кода где любое кодовое слово.

Замечание. Хотя условие или достаточно для выполнения условия оно не является необходимым, как показывает пример кода, изображенного на рис. 5.1 или в упражнении (3) этой главы.