Глава 16. Квадратично-вычетные коды
16.1. ВВЕДЕНИЕ
Квадратично-вычетные коды (КВ-коды) 
являются циклическими кодами над полем 
с блоковой длиной 
, где I и 
- два различных простых числа таких, что I является квадратичным вычетом по модулю 
(Сколько-нибудь изученными являются только случаи 
и 3). Коды 3? и 
являются эквивалентными и имеют параметры 
также являются эквивалентными кодами, но их параметры равны 
Кроме того, 
и 
Все эти коды определяются в § 16.2, а на рис. 16.1 дается краткая характеристика их свойств.
Примерами квадратично-вычетных кодов являются двоичный [7, 4, 3]-код Хэмминга, а также двоичный [23, 12, 7] и троичный [11, 6, 5] совершенные коды Голея 
(см. § 6.10 и гл. 20). Другие примеры приведены на рис. 16.2.
Таким образом, скорость КВ-кодов близка к 1/2, а минимальное расстояние достаточно велико (по крайней мере при не
слишком больших 
впрочем, см. нерешенную задачу (16.1)). Некоторые методы декодирования КВ-кодов и других циклических кодов рассматриваются в § 16.9. Наиболее сильным среди них является перестановочное декодирование, основанное на том, что рассматриваемые коды обладают большой группой автоморфизмов.
В данной главе обсуждаются и другие вопросы, относящиеся к КВ-кодам, как-то: порождающие идемпотенты кодов (§ 16.3), дуальные коды и расширенные коды длины 
(§ 16.4) и группы автоморфизмов (§ 16.5). Расширенные КВ-коды при 1—2 инвариантны относительно группы 
а при 
относительно группы, представляющей собой слабое обобщение группы 
(теорема 12), и во многих случаях эта группа автоморфизмов является полной (теорема 13).
В § 16.6 продолжается описание свойств КВ-кодов, в частности предлагаются методы нахождения истинного минимального расстояния. В § 16.6 также показывается, что порождающая матрица некоторых КВ-кодов может быть записана в виде 
где А — циркулянтная или окаймленная циркулянтная матрица. Такие коды названы дважды циркулянтными кодами. В § 16.7, 16.8 исследуются дважды циркулянтные коды над 
для одного частного случая выбора матрицы А. Свойства этих кодов аналогичны свойствам КВ-кодов, хотя о них мало что известно. Для 
эти коды являются симметричными кодами Плесс.
В этой главе доказательства проводятся, как правило, только для случая 
доказательства для случая 
аналогичны и предоставляются читателю.
