18.7.5. КОНСТРУКЦИЯ ПИРЕТА

Она представляет собой способ удвоения длины неприводимого кода. Пусть — неприводимый циклический двоичный -код, порождающий идемпотент которого равен (см. гл. 8). Здесь равно наименьшему целому числу такому, что делит Положим Пусть является примитивным элементом поля и пусть Таким образом, и в качестве ненулей кода могут быть выбраны элементы Кроме того, отметим, что код состоит из слов где

Напомним, что согласно гл. 8 код изоморфен полю причем имеет место следующее взаимно однозначное соответствие:

Тогда любое ненулевое слово кода может быть представлено как где

Пусть Тогда (так как )

Выберем теперь целое число а так, чтобы максимизировать

Новый код состоит из 0 и векторов

где . Тогда представляет собой -код, где определяется выражением (18.24а).

Часто можно увеличить объем кода добавлением одной или двух порождающих строк и добавлением одной или двух общих проверок на четность.

Например, пусть обозначает [9, 6, 2] «код с порождающим идемпотентом Здесь примитивный элемент (см. рис. 4.5); . Лучше всего выбрать и код представляет собой -код, который может быть увеличен до -кода.

Полученные таким способом коды обозначены на рис. ПА.2 буквами

Упражнения. (22). Пусть обозначает -код, где Получить и -коды.

(23). Пусть обозначает -код, где Получить -код.

Задача (нерешенная) (18.6). Пусть — циклический код длины Как надо выбрать многочлен чтобы минимальное расстояние кода было максимально возможным?