4.2. КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ ОСНОВЫ ТЕОРИИ

Характеристика поля. Пусть произвольное конечное поле порядка содержит единичный элемент 1, и так как конечно, то не могут быть различными все элементы Стедовательно, существует наименьшее число такое, что Это должно быть простым числом (так как если то либо либо и называется характеристикой поля Характеристика поля GF(24), построенного в гл 3, равна 2 Если характеристика поля равна то для произвольного элемента

Таким образом, содержит элементов Сумма и произведение этих

элементов имеют такой же вид, так что эти элементов образуют подполе поля Если то в нет других элементов и

Другие элементы в F. Предположим, что и выберем в максимальное множество линейно независимых над элементов, скажем, Тогда содержит все элементы вида и не содержит никаких других. Следовательно, является векторным пространством размерности над и содержит элементов для некоторого простого и некоторого целого (иначе, порядок равен Пусть обозначает множество всех ненулевых элементов поля

Важнейшим специфическим свойством конечных полей, отличающим их от бесконечных полей, является следующее.

Теорема образует циклическую мультипликативную группу порядка (Конечная мультипликативная циклическая группа определяется как множество элементов при условии Элемент а называется образующей группы.)

Доказательство То что является мультипликативной группой, следует из определения поля. Пусть Так как мощность равна то может принимать не более различных значений. Следовательно, найдутся целые числа такие, что или Наименьшее такое называется порядком элемента а.

Выберем теперь а так, чтобы его порядок был максимально возможным Покажем, что порядок I любого элемента делит число Пусть я— простое число такое, что взаимно просты с Тогда элемент имеет порядок а элемент имеет порядок а порядок элемента равен (см. упражнение (7)). Следовательно, так как в противном случае не является максимальным. Таким образом, если некоторая степень простого числа является делителем то она является также делителем следовательно, I делит Отсюда следует, что каждый элемент из удовлетворяет уравнению Это означает, что многочлен делится . А так как содержит элементов, то Но следовательно, Поэтому Прея и ненулевые элементы поля образуют циклическую группу

Следствие 3. (Теорема Ферма.) Каждый элемент поля порядка удовлетворяет тождеству или, эквивалентно, является корнем уравнения

Таким образом,

В поле порядка элемент а называется примитивным, если его порядок равен (см § 3.2) Отсюда следует, что любой ненулевой элемент поля явчяется степенью элемента а Вторым следствием из теоремы 2 является

Теорема 4 Любое конечное поле содержит примитивным элемент

Доказательство В качестве примитивного элемента выберем образующий элемент а циклической группы

Очень полезной оказывается следующая лемма Лемма 5 В любом поле характеристики Доказательство Согласно упражнению (18) гл. 1

где

При

так как числитель содержит множитель а знаменатель — нет В частности, в поле характеристики 2 имеем

В заключение этого параграфа рассмотрим одно применение следствия 3 Воспользовавшись им в поле получим следующий важный результат

для любого целого не делящегося на Это стандартная формулировка теоремы Ферма, из которой, например, следует, что

или, иначе,

Упражнения. (5) Производная многочлена над конечным полем. Если

то определим производную равенством

Показать, что:

(iii). Если делит то делит .

(iv). Если ни в каком расширении поля многочлен не имеет кратных корней, то взаимно просты.

(v). Если то состоит только из четных степеней и является полным квадратом,

(6). Предположим, что конечное расширение поля содержащее все корни многочлена .

(i). Показать, что все корни многочлена различны. [Указание. Показать, что этот многочлен взаимно прост со своей производной.]

(ii). Доказать непосредственно, что эти корни образуют поле.

(7). Пусть коммутативная группа, содержащая элементы соответственно порядков

Показать, что если то

Показать, что если взаимно просты, то порядок элемента равен

Показать, что если то порядок элемента равен

(8). - функция Эйлера (или тотиент-функция), определяется для любого целого положительного числа как число чисел, не превосходящих и взаимно простых с .

(i). Показать, что

где пробегает все простые делители числа .

(ii). Показать, что

где суммирование ведется по всем делителям числа включая и .

(iii). Доказать теорему Ферма — Эйлера: если взаимно просты, то

(9). Пусть обозначает число примитивных элементов поля Показать, что где функция Эйлера, определенная в задаче 8. Отсюда вывести, что