20.4. ПОРЯДОК ГРУППЫ М24 РАВЕН 24•23•22•21•20•48

Вначале нам понадобится одна лемма. Пусть группа перестановок на множестве и пусть подмножество Перестановка переводит в Множество всех образов называется орбитой под действием и обозначается Пусть обозначает подгруппу относительно которой множество инвариантно (т. е. если то ).

Лемма 3. .

Наиболее важным является случай, когда состоит из одной точки.

Доказательство. Для перестановок получаем, что равенство выполняется тогда и только тогда, когда

Таким образом, мощность орбиты равна числу смежных классов группы по подгруппе что равно

Теорема

Доказательство. Предположим, что октада. Обозначим через подгруппу относительно которой эта октада инвариантна, а через — подгруппу которая вдобавок оставляет неподвижной девятую точку Так как группа транзитивна на октадах (упражнение (6)), то согласно лемме Вычисление проводится в четыре этапа.

(i). Мы покажем, что — подгруппа группы индекса 16, т. е.

Рассматривая действие на оставшихся 15 точках, мы покажем, что изоморфна подгруппе и поэтому

Рассматривая затем действие на октаде, мы получим, что содержит подгруппу, изоморфную знакопеременной группе порядок которой равен

Следовательно, и поэтому

Этап (i). Если относительно перестановки я из группы инвариантно множество из 5 точек, то инвариантна и октада О, содержащая эти точки (в противном случае Группа содержит перестановку типа 1-3-5-15, например Октада, содержащая цикл длины 5 из этой перестановки, инвариантна относительно нее и поэтому должна быть объединением циклов длины 3 и 5. В таком случае, учитывая сопряженные с перестановки и упражнение (1), мы можем предположить, что группа содержит перестановку Группа содержит также перестановку типа 12-2-4-82, например Октада, содержащая одну из неподвижных точек и цикл длины 4, должна быть объединением циклов длины 4, 2 и 1. Следовательно, содержит перестановку, относительно которой множество точек октады инвариантно и которая на оставшихся 16 точках представляется двумя циклами длины 8. Таким образом, группа транзитивна на точках и поэтому индекс подгруппы оставляющей неподвижной точку в группе равен 16 в силу леммы 3.

Этап (ii). Пусть обозначает код длины 15, полученный из кодовых слов 24, имеющих нули в 9 координатах Так как код самодуален, мы точно знаем те проверочные соотношения в таком коде, которые связывают эти 9 координат — имеется ровно одно такое соотношение, соответствующее октаде Следовательно, код имеет мощность Кроме того, код содержит только слова веса 8 и 12, причем вес 12 невозможен, ибо в противном случае код 24 содержал бы кодовое слово веса 20. Поэтому представляет собой -код, содержащий

15 кодовых слов веса 8. Из упражнения (7) следует, что 93 эквивалентен симплексному коду с порождающей матрицей

и имеет группу автоморфизмов

Каждая нетривиальная перестановка группы индуцирует тривиальную перестановку на (Так как если индуцируют одну и ту же перестановку на то перестановка оставляет неподвижными 16 точек, а согласно упражнению (8) только тождественная перестановка в группе может оставлять неподвижными 16 точек.) Таким образом, группа изоморфна подгруппе

Этап (iii). Пусть группа перестановок на октаде индуцированная группой Тогда 5-я степень перестановки которая была определена на этапе влечет за собой рассматривая сопряженные перестановки, можно получить все циклы длины 3. Следовательно, содержит знакопеременную группу (которая согласно упражнению (9) порождается циклами длины 3).

Эта теорема имеет ряд важных следствий.

Следствие 5. Группа представляет собой полную группу автоморфизмов кода .

Доказательство. Пусть - Мы знаем, что Доказательство теоремы 4 не изменится, если заменить на Следовательно,

Следствие 6. Порядок подгруппы относительно которой инвариантна октада, равен 8-8!

Следствие 7.

(Следствия 6 и 7 непосредственно следуют из доказательства теоремы 4.)

Определение. Группа Матье состоит из перестановок группы оставляющих неподвижной некоторую точку из Таким образом, является -транзитивной группой порядка .

Следствие 8. Группа представляет собой полную группу автоморфизмов кода

Упражнения. (7). Пусть произвольный двоичный -код, содержащий 15 кодовых слов веса 8. Показать, что 9? эквивалентен симплексному коду с порождающей матрицей вида (20.11). Вывести отсюда, что группой автоморфизмов кода 92 является группа [Указание. Воспользоваться теоремой 24 гл. 13.]

(8). Показать, что перестановка из группы которая оставляет неподвижными 16 точек (каждую в отдельности), и при этом другие 8 точек образуют октаду, должна оставлять

неподвижными все 24 точки. [Указание. Предположить, что оставляет неподвижными точки и при этом множество октада. Тогда октада такая, что переводится перестановкой в октаду или Рассматривая все такие октады показать, что — тождественная перестановка.]

(9). Показать, что знакопеременная группа порождается всеми циклами длины 3.

(10). Показать, что поточечный стабилизатор октады является элементарной абелевой группой порядка 16 и что он транзитивен на оставшихся 16 точках. Показать также, что поточечный стабилизатор любых 5 точек имеет порядок 48. [Указание. В первой части воспользоваться перестановкой а во второй — перестановкой ]

(11). Показать, что группа транзитивна на додекадах.