11.4. МАТРИЦЫ, У КОТОРЫХ ВСЕ КВАДРАТНЫЕ ПОДМАТРИЦЫ НЕВЫРОЖДЕНЫ

Теорема -код с порождающей матрицей где А — матрица размера является кодом МДР тогда и только тогда, когда каждая квадратная подматрица (образованная любыми строками и столбцами для любого матрицы А невырождена.

Рис. 11.1. Конфигурации для

Доказательство. (Необходимость.) Предположим, что код МДР. В силу следствия 3 каждые столбцов линейно независимы. Идея доказательства очень проста, и мы лишь проиллюстрируем его, доказав, что левая верхняя -подматрица А матрицы А невырождена. Рассмотрим матрицу В, состоящую из последних столбцов матрицы I и первых 3 столбцов матрицы А:

Тогда Общий случай доказывается таким же образом. (Достаточность.) Очевидно.

Примеры. (1). Изображенный на рис. 10.2 [4, 2, 3]-код над имеет матрицу

и, действительно, любая квадратная подматрица матрицы А (порядка 1 или 2) невырождена.

(2). Расширенный [5, 2, 3]-код РС над имеет матрицу

С учетом теоремы 8 наша открытая проблема может быть сформулирована в таком виде.

Задача (нерешенная). Для заданных найти наибольшее число такое, что существует -матрица с элементами из поля каждая квадратная подматрица которой невырождена.

Упражнение. (6). (Синглтон.) Показать, что любая прямоугольная подматрица А конфигураций, изображенных на рис, 11.1, обладает тем свойством, что любая -подматрица матрицы А невырождена под полем GF(q).

Задача (нерешенная). (11.3.). Обобщить рис. 11.1 для больших

Упражнение. (7). (а). Показать, что любая квадратная подматрица матрицы Вандермонда, элементами которой являются действительные положительные числа, невырождена. Показать, что это несправедливо для матриц Вандермонда над конечными полями.

(b). При заданных матрица где называется матрицей Коши. Показать, что

Следовательно, если все различны, все различны и для всех то любая квадратная подматрица матрицы Коши невырождена над любым полем.