9.8. КВАЗИСОВЕРШЕННОСТЬ КОДОВ БЧХ, ИСПРАВЛЯЮЩИХ ДВЕ ОШИБКИ
Теорема 17. (Горенстейн, Питерсон и Цирлер.) Пусть 
двоичный код БЧХ длины 
исправляющий две ошибки. Тогда 93— квазисовершенный код (см. § 5 гл. 1), т. е. любой смежный класс кода 
содержит вектор, вес которого не превосходит 3.
Доказательство. Для нечетных 
этот результат был доказан в § 6.6.
Предположим, что 
четно. (В этом случае 
имеет пять весов (см. рис. 15.4), так что аргументация, использованная в гл. 6, не годится.) Выпишем проверочную матрицу кода 
Если и — некоторый вектор длины 
с локаторами 
то синдром вектора и равен:
Согласно теореме 5 гл. 1 между синдромами и смежными классами имеется взаимно однозначное соответствие. Поэтому достаточно показать, что для любого синдрома 
найдется соответствующий вектор, вес которого не превосходит 3. Иными словами, для любой пары 
мы должны указать три элемента 
в поле 
такие, что
Положим 
Тогда 
удовлетворяют условиям (9.26) в том и только в том случае, если 
удовлетворяют системе
где 
Подставляя 
во второе уравнение, получаем
Будем искать решение при 
Полагая 
имеем
Согласно теореме 15 мы должны найти такое 
чтобы выполнялось равенство 
Если 
то решениями уравнения (9.27) являются 
Предположим, что 
где 
или 2. Если 
то положим 
тогда 
как и требуется. Случаю 
соответствует 
элементов. Так как 
то в поле 
найдется элемент 0 такой, что 
и не является кубом, скажем, 
(случай 
аналогичен). Тогда след элемента 
также равен нулю. Таким образом, если, например, 
то выбор 
приводит к требуемому результату: 
Упражнение. (7). (Горенстейн, Питерсон и Цирлер.) (i). Пусть — код БЧХ над GF(q) с расстоянием Боуза, равным 
(см. § 7.6). Предположим, что — код БЧХ с конструктивным расстоянием 
и расстоянием Боуза 
Показать, что 
имеет смежный класс, вес которого не меньше чем 
Вывести отсюда, что двоичный примитивный код 
длина которого больше или равна 7 и который исправляет три ошибки, имеет смежный класс, вес которого не меньше 5, и, следовательно, не является квазисовершенным.
Задача (нерешенная). (9.4). Доказать, что, кроме указанных, не существует квазисовершенных кодов БЧХ.
