Главная > Теория кодов, исправляющих ошибки
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

20.5. СИСТЕМА ШТЕЙНЕРА S(5, 8, 24) ЕДИНСТВЕННА

Цель этого раздела — доказать следующую теорему.

Теорема 9. Существует единственная система Штейнера ). Более точно, если имеются две системы Штейнера ), обозначим их через и то существует перестановка, действующая на 24 точках, которая переводит октады системы в октады системы (В этом разделе октада означает блок системы Штейнера

Для доказательства удобно воспользоваться таблицей значений приведенной на рис. 2.14. В частности, из последней строки этой таблицы следует, что две октады пересекаются в 0, 2 или 4 точках. Мы начнем с нескольких лемм.

Лемма 10. (Лемма Тодда.) Если октады системы ), пересекающиеся в 4 точках, то также является октадой.

Доказательство. Пусть и предположим, что не является октадой. Тогда октада содержащая точки должна содержать еще ровно одну точку из С и имеет, например, вид Аналогично октада, содержащая точки должна иметь вид Но теперь невозможно найти октаду, содержащую точки и пересекающуюся с октадами В, С, D, Е в 0, 2 или 4 точках. Это приводит к противоречию, так как должна существовать октада, содержащая любые 5 точек.

Лемма 11. Если известны 280 октад, пересекающих данную октаду О в четырех точках, то все 759 октад определены.

Доказательство. Согласно рис. 2.14 мы должны найти 30 октад, не пересекающихся с О и 448 октад, пересекающихся с О в двух точках, т. е. 16 октад, пересекающихся с О в двух заданных точках

Пусть Помимо О имеется еще четыре октады, содержащие точки скажем, и 4 октады, содержащие точки скажем, Согласно лемме

10 суммы представляют собой октады, и легко видеть, что все они различны и являются 16 октадами, содержащими точки Шесть сумм являются октадами, не пересекающимися с О. Ясно, что они различны и что Так как точку а можно выбрать пятью способами, то это и дает 30 октад, не пересекающихся с О.

Определение секстета. Любые четыре точки определяют разбиение 24 точек на 6 множеств по 4 точки в каждом, называемых тетрадами и удовлетворяющих следующему свойству: объединение любых двух таких тетрад является октадой. Это множество из 6 тетрад называется секстетом (т. е. шесть тетрад). (Чтобы убедиться в этом, выберем пятую точку Существует единственная октада, содержащая точки скажем, Тогда вторая тетрада. Девятая точка определяет октаду и тетраду Согласно лемме Тодда является октадой и т. д.)

Лемма 12. Пересечения любой октады с 6 тетрадами секстета имеют следующий вид: 3-15, или 42-04, или 24-02. (Первое из этих выражений 3-15 означает, что октада пересекает одну тетраду в трех точках, а другие пять — в одной точке.)

Доказательство. Две октады пересекаются в 0, 2 или 4 точках.

Лемма 13. Матрица пересечений тетрад из двух секстетов имеет один из следующих видов:

Доказательство. Следует из леммы 12 и определения секстета.

Доказательство теоремы 9. Пусть — фиксированная октада в системе Штейнера S(5, 8, 24). Идея доказательства заключается в том, что однозначно определяются все октады, пересекающие О в 4 точках; теорема тогда будет следовать из леммы 11. Чтобы найти эти октады, мы построим 7 секстетов

Пусть шесть точек октады С, а точка, не принадлежащая О. Предположим, что секстет, задаваемый четырьмя точками и пусть тетрады этого секстета являются столбцами следующей -матрицы:

Таким образом, октада О состоит из двух первых столбцов этой матрицы.

Согласно лемме 12 пересечение октады, содержащей точки должно иметь вид 3-15, и поэтому, изменив соответствующим образом нумерацию точек мы можем выбрать эту октаду в виде Тетрада определяет секстет, который согласно лемме 13 может быть выбран в виде

Эта диаграмма означает, что тетрадами секстета являются множества . В этих обозначениях

Замечание. Мы описали сейчас 30 октад, не пересекающихся с октадой О. Эти октады представляют собой (i) суммы любых двух строк матрицы

(ii) суммы любых двух столбцов этой матрицы, (iii) суммы октад вида Схематически это можно проиллюстрировать следующим образом:

Пересечение октады, содержащей точки с обоими секстетами имеет вид 3-15, и поэтому эта октада может быть выбрана в виде множества Тетрада определяет секстет, который можно выбрать в виде

если воспользоваться леммой 13 и рассмотреть пересечения с 30 октадами, указанными в предшествующем замечании. Здесь мы отметим, что секстеты инвариантны относительно следующих перестановок точек множества

Октада, содержащая точки не может содержать ни одной из точек или в силу условий, накладываемых пересечениями с предыдущими октадами, и поэтому она должна иметь вид

Так как оба этих вида эквивалентны относительно перестановки а, то в качестве октады может быть выбрано множество Тетрада определяет в тако случае секстет

Аналогичным способом получаем, что

Далее пересечение октады, содержащей точки имеет вид , и поэтому, используя перестановку , можно предположить, что пересечение этой октады с первыми четырьмя столбцами секстета имеет вид 24. Поэтому в качестве этой октады мы можем выбрать множество Это приводит к секстету

Подобным образом, используя перестановку в качестве октады, содержащей точки , можно взять множество что дает секстет

Остается показать, что все 280 октад, пересекающих О в 4 точках, определяются секстетами

Если два секстета пересекаются равномерно (т. е. если матрица пересечений тетрад из этих секстетов совпадает с третьей матрицей, приведенной в лемме 13), то мы можем сложить в них соответствующие октады и получить новую октаду и новый секстет. Например, из получаем

Легко проверить, что таким способом мы получим все

секстетов, которые определяются четырьмя точками О. Но эти секстеты дают все октады, пересекающие октаду (3 в 4 точках.

Первоначальное доказательство Витта теоремы 9 заключается в последовательном доказательстве единственности систем Штейнера (4, 7, 23) и, наконец, ). Отправные точки этого доказательства даются в следующих упражнениях.

Упражнения. (12). Доказать единственность аффинных плоскостей для значений (см. § 2.5 и теорему 11 приложения В). [Указание. Выбрать семейство из непересекающихся блоков системы и назвать их «горизонтальными прямыми», а другое семейство из непересекающихся блоков назвать «вертикальными прямыми». Точка пересечения вертикальной прямой и горизонтальной прямой у определяется координатами Каждый из оставшихся блоков состоит из точек вида ( Образовать -матрицу строками которой являются

векторы Показать, что для значений матрица по существу единственна].

(13). Доказать единственность проективных плоскостей для значений [Указание. Так как аффинные плоскости единственны, то их можно построить с помощью конечных полей (что приведено в § 2 приложения В). Существует единственный способ расширения такой плоскости до проективной плоскости.]

(14). Доказать единственность систем Штейнера S(3, 6, 22) и S(4, 7, 23). [Указание. Пусть Р - фиксированная точка S(3, 6, 22). Идея состоит в доказательстве того, что блоки, содержащие точку образуют систему S(2, 5, 21), которая единственна в силу упражнения (13), а другие блоки образуют овалы (с. 321 гл. 11) в системе Штейнера S(2, 5, 21) (см. Витт [1424] или Лунберг [866]).]

(15). (а). Показать, что матрица Адамара 8 порядка 8 единственна с точностью до эквивалентности (ср. с. 56 гл. 2). [Указание. Воспользоваться тем, что система единственна.] (Ь). Показать, что матрица Адамара единственна.

(16). Показать, что система Штейнера ) единственна, и, следовательно, расширенный -код Хэмминга также единствен.

1
Оглавление
email@scask.ru