20.5. СИСТЕМА ШТЕЙНЕРА S(5, 8, 24) ЕДИНСТВЕННА
Цель этого раздела — доказать следующую теорему.
Теорема 9. Существует единственная система Штейнера
). Более точно, если имеются две системы Штейнера
), обозначим их через
и то существует перестановка, действующая на 24 точках, которая переводит октады системы
в октады системы (В этом разделе октада означает блок системы Штейнера
Для доказательства удобно воспользоваться таблицей значений
приведенной на рис. 2.14. В частности, из последней строки этой таблицы следует, что две октады пересекаются в 0, 2 или 4 точках. Мы начнем с нескольких лемм.
Лемма 10. (Лемма Тодда.) Если
октады системы
), пересекающиеся в 4 точках, то
также является октадой.
Доказательство. Пусть
и предположим, что
не является октадой. Тогда октада
содержащая точки
должна содержать еще ровно одну точку из С и имеет, например, вид
Аналогично октада, содержащая точки
должна иметь вид
Но теперь невозможно найти октаду, содержащую точки
и пересекающуюся с октадами В, С, D, Е в 0, 2 или 4 точках. Это приводит к противоречию, так как должна существовать октада, содержащая любые 5 точек.
Лемма 11. Если известны 280 октад, пересекающих данную октаду О в четырех точках, то все 759 октад определены.
Доказательство. Согласно рис. 2.14 мы должны найти 30 октад, не пересекающихся с О и 448 октад, пересекающихся с О в двух точках, т. е. 16 октад, пересекающихся с О в двух заданных точках
Пусть
Помимо О имеется еще четыре октады, содержащие точки
скажем,
и 4 октады, содержащие точки
скажем,
Согласно лемме
10 суммы
представляют собой октады, и легко видеть, что все они различны и являются 16 октадами, содержащими точки
Шесть сумм
являются октадами, не пересекающимися с О. Ясно, что они различны и что
Так как точку а можно выбрать пятью способами, то это и дает 30 октад, не пересекающихся с О.
Определение секстета. Любые четыре точки
определяют разбиение 24 точек на 6 множеств по 4 точки в каждом, называемых тетрадами и удовлетворяющих следующему свойству: объединение любых двух таких тетрад является октадой. Это множество из 6 тетрад называется секстетом (т. е. шесть тетрад). (Чтобы убедиться в этом, выберем пятую точку
Существует единственная октада, содержащая точки
скажем,
Тогда
вторая тетрада. Девятая точка
определяет октаду
и тетраду
Согласно лемме Тодда
является октадой и т. д.)
Лемма 12. Пересечения любой октады с 6 тетрадами секстета имеют следующий вид: 3-15, или 42-04, или 24-02. (Первое из этих выражений 3-15 означает, что октада пересекает одну тетраду в трех точках, а другие пять — в одной точке.)
Доказательство. Две октады пересекаются в 0, 2 или 4 точках.
Лемма 13. Матрица пересечений тетрад из двух секстетов имеет один из следующих видов:
Доказательство. Следует из леммы 12 и определения секстета.
Доказательство теоремы 9. Пусть
— фиксированная октада в системе Штейнера S(5, 8, 24). Идея доказательства заключается в том, что однозначно определяются все октады, пересекающие О в 4 точках; теорема тогда будет следовать из леммы 11. Чтобы найти эти октады, мы построим 7 секстетов
Пусть
шесть точек октады С, а
точка, не принадлежащая О. Предположим, что
секстет, задаваемый четырьмя точками
и пусть тетрады этого секстета являются столбцами следующей
-матрицы:
Таким образом, октада О состоит из двух первых столбцов этой матрицы.
Согласно лемме 12 пересечение октады, содержащей точки
должно иметь вид 3-15, и поэтому, изменив соответствующим образом нумерацию точек
мы можем выбрать эту октаду в виде
Тетрада
определяет секстет, который согласно лемме 13 может быть выбран в виде
Эта диаграмма означает, что тетрадами секстета
являются множества
. В этих обозначениях
Замечание. Мы описали сейчас 30 октад, не пересекающихся с октадой О. Эти октады представляют собой (i) суммы любых двух строк матрицы
(ii) суммы любых двух столбцов этой матрицы, (iii) суммы октад вида
Схематически это можно проиллюстрировать следующим образом:
Пересечение октады, содержащей точки
с обоими секстетами
имеет вид 3-15, и поэтому эта октада может быть выбрана в виде множества
Тетрада
определяет секстет, который можно выбрать в виде
если воспользоваться леммой 13 и рассмотреть пересечения с 30 октадами, указанными в предшествующем замечании. Здесь мы отметим, что секстеты
инвариантны относительно следующих перестановок точек множества
Октада, содержащая точки
не может содержать ни одной из точек
или
в силу условий, накладываемых пересечениями с предыдущими октадами, и поэтому она должна иметь вид
Так как оба этих вида эквивалентны относительно перестановки а, то в качестве октады может быть выбрано множество
Тетрада
определяет в тако случае секстет
Аналогичным способом получаем, что
Далее пересечение октады, содержащей точки
имеет вид
, и поэтому, используя перестановку
, можно предположить, что пересечение этой октады с первыми четырьмя столбцами секстета
имеет вид 24. Поэтому в качестве этой октады мы можем выбрать множество
Это приводит к секстету
Подобным образом, используя перестановку
в качестве октады, содержащей точки
, можно взять множество
что дает секстет
Остается показать, что все 280 октад, пересекающих О в 4 точках, определяются секстетами
Если два секстета пересекаются равномерно (т. е. если матрица пересечений тетрад из этих секстетов совпадает с третьей матрицей, приведенной в лемме 13), то мы можем сложить в них соответствующие октады и получить новую октаду и новый секстет. Например, из
получаем
Легко проверить, что таким способом мы получим все
секстетов, которые определяются четырьмя точками О. Но эти секстеты дают все октады, пересекающие октаду (3 в 4 точках.
Первоначальное доказательство Витта теоремы 9 заключается в последовательном доказательстве единственности систем Штейнера
(4, 7, 23) и, наконец,
). Отправные точки этого доказательства даются в следующих упражнениях.
Упражнения. (12). Доказать единственность аффинных плоскостей
для значений
(см. § 2.5 и теорему 11 приложения В). [Указание. Выбрать семейство из
непересекающихся блоков системы
и назвать их «горизонтальными прямыми», а другое семейство из
непересекающихся блоков назвать «вертикальными прямыми». Точка пересечения вертикальной прямой
и горизонтальной прямой у определяется координатами
Каждый из
оставшихся блоков состоит из точек вида (
Образовать
-матрицу
строками которой являются
векторы
Показать, что для значений
матрица
по существу единственна].
(13). Доказать единственность проективных плоскостей
для значений
[Указание. Так как аффинные плоскости единственны, то их можно построить с помощью конечных полей (что приведено в § 2 приложения В). Существует единственный способ расширения такой плоскости до проективной плоскости.]
(14). Доказать единственность систем Штейнера S(3, 6, 22) и S(4, 7, 23). [Указание. Пусть Р - фиксированная точка S(3, 6, 22). Идея состоит в доказательстве того, что блоки, содержащие точку
образуют систему S(2, 5, 21), которая единственна в силу упражнения (13), а другие блоки образуют овалы (с. 321 гл. 11) в системе Штейнера S(2, 5, 21) (см. Витт [1424] или Лунберг [866]).]
(15). (а). Показать, что матрица Адамара 8 порядка 8 единственна с точностью до эквивалентности (ср. с. 56 гл. 2). [Указание. Воспользоваться тем, что система
единственна.] (Ь). Показать, что матрица Адамара
единственна.
(16). Показать, что система Штейнера
) единственна, и, следовательно, расширенный
-код Хэмминга также единствен.