16.3. ИДЕМПОТЕНТЫ КВАДРАТИЧНО-ВЫЧЕТНЫХ КОДОВ

Сначала рассмотрим случай

Теорема 2. Если то а можно выбрать так, что порождающие идемпотенты кодов будут соответственно равны:

Доказательство. Поскольку 2 — квадратичный вычет по модулю то так что эти многочлены являются идемпотентами. Таким образом, согласно лемме 2 гл. 8 равно 0 или 1. Для любого квадратичного вычета имеют место равенства

Аналогично для любого невычета Так как то в зависимости от выбора либо

либо

Выберем элемент а так, чтобы выполнялись условия (16.8). Тогда порождающий идемпотент кода Далее для

для Таким образом, многочлен является идемпотентом кода

Наконец, для всех так что является порождающим идемпотентом кода Аналогично идемпотент кода

Замечание. Если то порождающие идемпотенты кодов могут быть выбраны соответственно в виде

Пример. При множество вычетов и порождающие идемпотенты кодов соответственно равны

Оба кода эквивалентны коду Голея .

Идемпотенты для случая Для вывода формул идемпотентов в случае оказывается полезным следующий теоретико-числовой результат. Напомним определение символа Лежандра, данное в гл. 2:

Кроме того, Определим сумму Гаусса равенством

Так как

Теорема 3. Если то (Это утверждение справедливо для любого поля при условии, что а является примитивным корнем степени из единицы.)

Доказательство.

В этой сумме у членов таких, что коэффициент равен —1, так как в этом случае если одно из чисел или является квадратичным вычетом по модулю то второе является невычетом (так как —1 является невычетом). Следовательно,

Вклад членов с равен:

Таким образом,

где

Остается показать, что Пусть для некоторого такого, что Тогда

Мы покажем, что множество состоит из вычетов и невычетов по модулю что, конечно, равносильно равенству Если то Так как то Следовательно, для некоторого или

Согласно теореме Перрона (теорема 24 из замечаний к главе) это множество содержит равное число вычетов и невычетов.

3 амечание. Если то

Пример. Для и любого I имеем:

Теорема 4. Если то коды порождаются соответственно идемпотентами

Доказательство. Легко проверить, что если то

Кроме того, Отсюда согласно лемме 2 гл. 8 следует, что порождающие идемпотенты указанных кодов.

Пример. Если то Кроме того, примитивный корень степени 11 из единицы. Вместо вычисления 9 по (16.11) воспользуемся лучше теоремой 3: так что Выберем а так, чтобы выполнялось равенство Тогда из (16.12) и (16.14) получаем, что порождающие идемпотенты кодов равны соответственно

Оба эти кода эквивалентны коду Голея Заметим, что если то идемпотенты всегда имеют такой вид, так как в этом случае квадратичный вычет по модулю 3, и, следовательно,

Представляется полезным указать, как были найдены эти идемпотенты. Наиболее правдоподобная гипотеза состояла в том, что они имеют вид

При возведении выражений такого вида в квадрат полезно следующее утверждение.

Лемма 5. Предположим, что Тогда в кольце

Доказательство. Вытекает из теоремы Перрона

Отсюда сразу следует, что выражение (16.17) является идемпотентом тогда и только тогда, когда

Решение этих уравнений и приводит к формулам, указанным в теореме 4.