18.5. КАСКАДНЫЕ КОДЫ: (*)-КОНСТРУКЦИЯ

Любой каскадный код (см. гл. 10) можно рассматривать как код, полученный произведением кодов. Если внутренний код неприводим и взаимно просты, то мы увидим, что каскадный код является циклическим. Мы будем называть это -конструкцией.

Нам нужны два кода: (i). Неприводимый двоичный циклический -код ненулями которого являются элементы где примитивный корень степени из единицы, (ii). Циклический -код над Напомним, что согласно § 8.3 код изоморфен полю Существует изоморфизм переводящий в поле задаваемый равенством

причем существует и обратное отображение переводящее элементы поля в двоичные векторы длины

-конструкция. Новый код, который мы обозначим через , получается, если мы в каждом слове из кода

(страница пропущена)

Упражнение. (11). Показать, что порождающий идемпотент кода отображается в порождающий идемпотент кода

Теорема 5. Если то код может быть превращен в циклический с помощью преобразования, использованного в теореме 1 (т. е. полагаем ).

Доказательство. Пусть типичное кодовое слово полученное из имеет вид (18.1). Как и в теореме 1, мы получим, что код является циклическим, если циклические сдвиги

принадлежат коду Но это и в самом деле так, ибо эти слова получены из кодовых слов (согласно лемме 10 гл. 8).

Пример. В качестве кода 38 выберем циклический МДР-код, например -код над нулями которого являются где а — примитивный элемент Весовой спектр этого кода таков (см. гл. 11):

В качестве кода выберем симплексный -код. Тогда представляет собой циклический -код со следующим весовым спектром:

Теорема 6. Предположим, что Если являются ненулями кодов соответственно, то ненулей кода имеют вид

Доказательство. Типичное слово кода имеет вид

Далее

где

Кроме того, вектор представляет собой слово циклического -кода ненулями которого являются элементы Таким образом, элементы являются ненулями кода

Пример (5). (Продолжение.) Пусть а — примитивный элемент и пусть Тогда ненулями кодов и 33 являются элементы

Но элементы и в самом деле представляют собой ненули -кода.

Упражнение. (12). Показать, что любой неприводимый -двоичный код у которого может быть представлен в виде произведения кодов [Указание. В качестве кода выбрать неприводимый над с ненулями ]