10.2. КОДЫ РИДА-СОЛОМОНА
Определение. Код Рида-Соломона (или РС) над 
это код БЧХ длины 
Конечно, 
никогда не равно двум. Таким образом, длина кода равна числу ненулевых элементов в основном поле. Для обозначения длины кода, размерности и минимального расстояния мы будем использовать буквы 
(мы используем большие буквы, чтобы отличить эти параметры от параметров двоичных кодов, которые будут построены ниже). На рис. 10.6 представлена краткая сводка свойств этих кодов.
Так как 
то минимальный многочлен элемента а» просто равен 
Следовательно, порождающий многочлен кода РС длины 
с конструктивным расстоянием 
равен:
Обычно, но не всегда полагают 
Примеры. (1). Рассмотрим, как обычно, поле 
где 
Для кода РС над 
длины 
с конструктивным расстоянием 
Множество из 42 кодовых слов изображено на рис. 10.1.
Рис. 10.1. [3, 2, 2]-код РС над 
(2). Построим РС код над 
длины 
с конструктивным расстоянием 3. В качестве примитивного элемента поля 
возьмем 
так что
Выпишем некоторые из 25 кодовых слов: 
Размерность кода РС равна 
Согласно границе БЧХ (теорема 8 гл. 7) минимальное расстояние 
равно по крайней мере 
По теореме 11 гл. 1
минимальное расстояние не может превышать этого значения. Следовательно, 
и коды РС являются разделимыми кодами с максимальным расстоянием, или МДР кодами (см. § 1.10 и следующую главу). Отсюда следует, что весовой спектр Хэмминга любого кода РС определяется теоремой 6 гл. 11.
РС коды важны по нескольким причинам:
(i). Их естественно использовать, когда требуется код, длшга которого меньше чем размер поля, так как, являясь МДР кодами, они имеют наибольшее возможное минимальное расстояние.
(ii). Как мы увидим в дальнейшем, они удобны для построения других кодов. Например, они могут быть отображены в двоичные коды с удивительно большим минимальным расстоянием (§ 10.5). Они также используются при построении каскадных кодов и кодов Юстесена (§ 10.11).
(iii). Они полезны для исправления пакетов ошибок (§ 10.6).
Кодирование и декодирование этих кодов обсуждаются в § 10.7 и 10.10.
Упражнение. (1). Показать, что код, дуальный коду РС, является кодом РС.
