Множество всех автоморфизмов поля 
образует группу относительно произведения а их, задаваемого формулой 
Эта группа называется группой автоморфизмов или группой Галуа поля 
Пример. Рассмотрим поле 
Группа автоморфизмов этого поля состоит из тождественного отображения 1 и отображения
Теорема 12. Группа автоморфизмов поля 
является циклической группой порядка 
и состоит из отображения 
его степеней.
Доказательство. Используя лемму 5, легко показать, что 
и все его степени задают автоморфизмы поля 
Пусть а — примитивный элемент поля 
а 
— автоморфизм поля. По определению автоморфизма элементы 
имеют один и тот же минимальный многочлен. Тогда согласно упражнению 
является одним из элементов 
Но если 
то 
Из этой теоремы вытекает, что в конечном поле характеристики 
каждый элемент имеет единственный корень степени 
Мы иногда будем пользоваться тем фактом, что каждый элемент поля 
имеет единственный квадратный корень 
Если 
то точно половина ненулевых элементов поля имеет квадратные корни. Эти элементы являются квадратичными вычетами, упоминавшимися в гл. 2. Если а — примитивный элемент поля, то квадратичные вычеты задаются элементами 
четными степенями элемента а. Очевидно, что эти элементы образуют группу и что выполняется свойство 
гл. 2, а именно:
Мы можем доказать теперь свойство 
Теорема 13. Если 
то —1 — квадратичный вычет; если 
, то —1 — квадратичный невычет.
Доказательство, 
Если 
то 
и —1 является четной степенью элемента а; в то же время если 
и —1 является нечетной степенью элемента а.
Упражнения. (23). Доказать теорему Дедекинда: если 
различные автоморфизмы поля 
то в поле 
нельзя найти не все равные нулю элементы 
такие, что 
для всех 
связано множество отображений поля самого на себя, называемых автоморфизмами, оставляющих неподвижным каждый элемент подполя 
и сохраняющих операции сложения и умножения.
над 
определяется как отображение, которое оставляет неподвижным элементы поля 
и удовлетворяет условиям:
как линейное преобразование, и Пусть 
матрица этого преобразования. Доказать, что 
многочлен наименьшей степени такой, что 
