19.3. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ИНВАРИАНТОВ

Группы матриц. С помрщью заданной совокупности невырожденных -матриц можно образовать группу умножая матрицы друг на друга всеми возможными способами. Таким образом, группа содержит матрицы Будем говорить, что группа порождается матрицами Конечно, группа может быть бесконечной, и в этом случае описанная здесь теория инвариантов прямо неприменима. (Однако см. Дьедонне и Керрол [375], Рэллис [1087] и Вейль [1410].)

Пример. Покажем, что группа порожденная матрицами

с которой мы встречались в § 19.2, действительно имеет порядок 192. Существенный момент заключается в обнаружении того (при случайном умножении матриц друг на друга), что содержит матрицы

Поэтому содержит матрицы

образующие подгруппу порядка 16. Отсюда легко видеть, что группа является объединением 12 смежных классов по подгруппе

где матрицы соответственно равны

Таким образом, группа 91 состоит из 192 матриц вида

где

Для проверки достаточно убедиться в том, что каждая матрица из семейства (19.28) может быть представлена как произведение степеней матриц что произведение двух матриц вида (19.28) имеет такой же вид и что матрица, обратная любой матрице из семейства (19.28), принадлежит этому же семейству. Следовательно, семейство матриц (19.28) является группой, которая порождается матрицами Таким образом, группа действительно совпадает с семейством (19.28).

Мы подробно разобрали этот пример, чтобы подчеркнуть, как важно начать с досконального изучения группы. (Другой возможный подход к изучению группы см. в [201; с. 160-161].)

Инварианты. Процитируем Германа Вейля [1409]: «Теория инвариантов возникла в середине XIX столетия отчасти подобно Минерве: взрослая дева, одетая в сияющие доспехи алгебры, она выпрыгнула из Юпитеровой головы Кэли». Теория инвариантов стала одним из ведущих направлений математики XIX столетия, но вышла из моды после работы Гилберта (см. Фишер [431] и Рейд [1108]). В последнее время, однако, интерес к ней возродился в связи с применениями в алгебраической геометрии (Дьедон-не и Керрол [375], Мамфорд [976]), физике (см., например, Агравала и Белпнфант [7] и ссылки, приведенные там), комбинаторике (Дубиле и др. [381], Рота [1125]) и в теории кодирования ([883, 894, 895]).

Имеется несколько различных типов инвариантов, но здесь инвариант определяется следующим образом.

Пусть представляет собой группу, состоящую из комплексных -матриц где элемент матрицы равен Другими словами, группа линейных преобразований переменных состоящая из преобразований

где

Имеет смысл точно описать, как многочлен преобразуется матрицей из группы Преобразованный многочлен имеет вид

где каждое заменяется выражением

Другой способ описания этого преобразования состоит в представлении в виде вектора-столбца. Тогда преобразуется в многочлен

где обычное произведение матрицы и вектора. Можно проверить, что

Например, матрица преобразует

Определение. Инвариантом группы называется многочлен который остается неизменным при действии любого линейного преобразования из группы Другими словами, инвариант если для всех

Пример. Пусть группа порядка Тогда являются однородными инвариантами степени 2.

Даже если не является инвариантом, то, как указывалось в § 19.2, его среднее по группе является таковым.

Теорема 4. Пусть произвольный многочлен. Тогда многочлен

является инвариантом группы

Доказательство. Любая матрица преобразует правую часть выражения (19.32) в сумму

Так как матрица пробегает всю группу то при фиксированной матрице произведение также пробегает всю группу. Следовательно, выражение (19.33) равно

что совпадает с Таким образом, инвариант.

В более общем случае любая симметрическая функция от многочленов является инвариантом

Ясно, что если инварианты то (с — комплексное число) также являются инвариантами. Это эквивалентно утверждению о том, что множество

инвариантов группы которое мы обозначим через образует кольцо (см. с. 189).

Одна из основных задач теории инвариантов заключается в описании кольца Так как преобразования группы не изменяют степень многочлена, то достаточно описать однородные инварианты (ибо любой инвариант представляет собой сумму однородных инвариантов).

Базисные инварианты. Наша цель — найти «базис» для инвариантов 5, т. е. найти множество базисных инвариантов таких, что любой инвариант может быть выражен через элементы этого множества. Существуют два различных типа базисов, которые можно было бы искать.

Определение. Многочлены называются алгебраически зависимыми, если существует многочлен от переменных с комплексными коэффициентами, не равными одновременно нулю, такой, что . В противном случае называются алгебраически независимыми. Следующая теорема представляет собой фундаментальный алгебраический результат.

Теорема 7. (Джекобсон [687], т. 3, с. 154.) Любые многочленов от переменных алгебраически зависимы.

Первый тип базиса, который мы могли бы искать, представляет собой множество алгебраически независимых инвариантов Такое множество в самом деле является «базисом», так как по теореме 7 любой инвариант алгебраически зависит от и поэтому является корнем некоторого многочлена от Существование такого базиса обеспечивает следующая теорема.

Теорема 8. (Бернсайд [211, с. 357].) Всегда существует алгебраически независимых инвариантов группы

Доказательство. Рассмотрим многочлен

от переменных Так как одна из матриц единичная, то значение является нулем этого многочлена. Если этот многочлен разложить по степеням то его коэффициенты являются инвариантами в силу замечания, следующего непосредственно после доказательства теоремы 4. Следовательно, алгебраическая функция от инвариантов. Аналогично каждая из переменных является алгебраической функцией от инвариантов. Далее, если число алгебраически независимых инвариантов равнялось бы то независимых переменных были бы алгебраическими функциями от переменных, что приводит к противоречию. Следовательно, число алгебраически независимых инвариантов по крайней мере равно Согласно теореме 7 это число не может быть больше чем

Пример. Для рассмотренной выше группы в качестве алгебраически независимых инвариантов мы можем выбрать Тогда любой инвариант является корнем многочлена от Например,

Однако намного удобнее описание инвариантов как множества инвариантов обладающих тем свойством, что любой инвариант является многочленом от . В этом случае множество называется полиномиальным базисом (или целостностным базисом) для инвариантов группы Конечно, если то по теореме 7 будут иметь место полиномиальные уравнения, связывающие и называемые сизигиями.

Например, многочлены образуют полиномиальный базис для инвариантов Их связывает сизигия

Существование полиномиального базиса и метод его нахождения определяются следующей теоремой.

Теорема 9. (Нетер [997]; см. также Вейль [1410 с. 369].) Кольцо инвариантов конечной группы комплексных -матриц имеет полиномиальный базис, состоящий не более чем из инвариантов степени, не превышающей где порядок группы Более того, этот базис может быть получен усреднением по всех одночленов вида где полная степень не превосходит

Доказательство. Пусть группа состоит из преобразований (19.29). Предположим, что многочлен

где комплексное число, является произвольным инвариантом группы (Сумма берется по всем наборам для которых в многочлене имеется ненулевой член хтет). Так как инвариант, то он не изменится, если мы усредним его по группе, и поэтому

Таким образом, каждый инвариант представляет собой линейную комбинацию специальных инвариантов (число которых бесконечно велико)

Далее является (с точностью до мультипликативной константы) коэффициентом при и... в выражении

где

Другими словами, значения представляют собой степенные суммы величин

Любая степенная сумма может быть записана как многочлен с рациональными коэффициентами от первых степенных сумм (упражнение (3)). Следовательно, любой инвариант с индексом (являющийся коэффициентом в может быть записан как многочлен от специальных инвариантов таких, что (являющихся коэффициентами в Следовательно, любой инвариант может быть записан как многочлен от таких, что Число таких равно числу наборов где , а это число равно Наконец, получается усреднением по группе.

Теорема Молина. Так как из теоремы 9 мы знаем, что полиномиальный базис всегда существует, то мы можем уверенно двигаться дальше и попытаться найти его, используя методы, описанные в § 19.2.

Для проверки того, что найден базис, мы используем теорему Молина (теорема 2). Она утверждает, что если а — число линейно независимых однородных инвариантов группы степени и

то

При доказательстве используется следующая теорема. Теорема 10. (Миллер и др. [955, с. 258], Серр [1185, с. 29].)

Число линейно независимых инвариантов степени 1 равно

Доказательство. Пусть

Замена переменных на которые действует группа на где переводит матрицу в матрицу Мы можем выбрать так, чтобы была диагональной матрицей (см. Бернсайд [211], с. 252). Далее следовательно, диагональными элементами являются 0 или 1. Поэтому, изменив порядок переменных, мы можем считать, что

Обозначим через число единиц на диагонали. Таким образом, если и если

Любой линейный инвариант группы конечно, остается неподвижным при действии матрицы и поэтому . С другой стороны, согласно теореме 4

является инвариантом для любого и поэтому

Прежде чем доказывать теорему 2, введем некоторые обозначения. Соотношение (19.29) показывает, как преобразуются переменные при действии матрицы Индуцированная матрица кратности обозначаемая через показывает, как преобразует все -кратные произведения переменных а именно (Литлвуд [857, с. 122]). Например, матрица

преобразует в многочлены

соответственно. Таким образом, индуцированная матрица кратности 2 имеет вид

Доказательство теоремы 2. Чтобы доказать формулу (19.35), заметим, что равно числу линейно независимых инвариантов степени 1 группы Согласно теореме 10

Следовательно, чтобы доказать теорему 2, достаточно показать, что след матрицы равен коэффициенту при в выражении

где (от — собственные значения матрицы

Соответствующей заменой переменных можно представить матрицы и в виде

и след равен сумме -кратных произведений элементов Но это в точности равно коэффициенту при в разложении выражения (19.36) по .

Стоит заметить, что ряд Молина не определяет однозначно группу. Например, существуют две группы -матриц порядка 8, для которых

(а именно группа диэдра и абелева группа . В действительности существуют абстрактные группы и чьи матричные представления могут быть сопоставлены попарно так, что каждое представление группы имеет тот же ряд Молина, что и соответствующее представление группы (Дейд [324]).

Стандартный вид базисных инвариантов. Следующие обозначения очень полезны для описания кольца инвариантов группы Обозначим множество комплексных чисел через С, и для заданных многочленов обозначим через множество всех многочленов от с комплексными коэффициентами. Например, теорема За как раз утверждает, что

Обозначим также через обычную прямую сумму. Например, утверждение вида означает, что каждый инвариант группы может быть единственным образом представлен в виде суммы где (Примером является приводимая ниже теорема 12.)

Используя эти обозначения, мы можем теперь задать наиболее удобный вид полиномиального базиса для

Определение. Хороший полиномиальный базис для состоит из однородных инвариантов где алгебраически независимы и

или если

Другими словами, это означает, что любой инвариант 9 может быть записан как многочлен от (если или как такой же многочлен плюс раз взятый другой такой многочлен, плюс ... (если ). Грубо говоря, это означает, что при описании произвольного инварианта играют роль «свободных» инвариантов, которые могут использоваться столько раз, сколько необходимо, играют роль «случайных» инвариантов, каждый из которых может использоваться не более одного раза.

Для хорошего полиномиального базиса мы можем точно сказать, сколько существует сизигий. Если то сизигий нет. Если то имеется сизигий, выражающих произведения через

Важно заметить, что ряд Молина может быть выписан только через степени хорошего полиномиального базиса. Пусть Тогда

или

(Это легко проверяется разложением выражений (19.38а) и (19.386) по степеням X и сравнением с выражениями (19.37а) и

Приведем для пояснения несколько примеров.

(1). Для группы из § 19.2 многочлены образуют хороший полиномиальный базис со степенями Действительно, согласно теореме За и формуле (19.11)

и

(2). Для группы 94, введенной выше, многочлены образуют хороший полиномиальный базис, причем Инварианты описываются следующим образом:

Другими словами, любой инвариант группы может быть представлен единственным образом как многочлен от плюс другой такой многочлен, взятый раз. Например,

Ряд Молина имеет вид

что согласуется с выражениями (19.386) и (19.39). Единственная сизигия имеет вид Заметим, что выбор уже не является хорошим полиномиальным базисом, так как инвариант не принадлежит множеству

К счастью, имеет место следующий результат.

Теорема 11. (Хочстер и Игон [657, утверждение 13]; независимо доказана также Дейдом [325].) Для инвариантов любой конечной группы комплексных -матриц существует хороший полиномиальный базис.

(Доказательство слишком сложно, чтобы приводить его здесь.)

Таким образом, мы знаем, что для любой группы ряд Молина может быть выписан в стандартной форме, задаваемой выражениями (19.38а) и (19.386) (со знаменателем, состоящим из произведения сомножителей вида и числителем, состоящим из суммы степеней X с положительными коэффициентами), и что может быть найден хороший полиномиальный базис, удовлетворяющий выражениям (19.37а) и (19.376), степени которого соответствуют степеням X, встречающимся в ряде Молина.

С другой стороны, обратное утверждение несправедливо. Не всегда верно, что если ряд Молина выписан в виде (19.38а) или (19.386) (где сокращены общие сомножители и умножены

числитель и знаменатель на новые сомножители), то может быть найден хороший полиномиальный базис для степени которого соответствуют степеням X в Это показывает следующий пример, приведенный Стенли [1262].

Пусть обозначает группу порядка 8, порожденную матрицами

Ряд Молина имеет вид

Существует хороший полиномиальный базис, соответствующий формуле (19.41), а именно

но не существует такого базиса, соответствующего формуле (19.40).

Задача (нерешенная). (19.1). Какому виду соответствует хороший полиномиальный базис и какому нет?

Один важный частный случай был решен. Шефард и Тодд [1196] охарактеризовали те группы, для которых имеют место соотношения (19.37а) и (19.38а), т. е. для которых существует хороший полиномиальный базис, состоящий только из алгебраически независимых инвариантов. Эти группы известны как унитарные группы, порожденные отражениями. Полный список 37 неприводимых групп такого типа приведен в работе [1196].

Упражнение. (4). Пусть

где переменные. Показать, что представляет собой многочлен от с рациональными коэффициентами. [Указание. Воспользоваться упражнением (52) гл. 8; см. также [756].]