Главная > Теория кодов, исправляющих ошибки
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

5.5. ТЕОРЕМА МАК-ВИЛЬЯМС ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ КОДОВ

Весовая функция элемента групповой алгебры

Пусть — произвольный элемент групповой алгебры такой, что

Назовем -вектор где

весовым спектром элемента С. Это понятие является естественным обобщением понятия весового спектра кода. Конечно, Как и в § 5.2, для элемента С определим также его весовую функцию:

Определение. Сопряженным к элементу С назовем элемент С алгебры задаваемый формулой

где отображение было определено в § 5.4. Предположим, что

так что

(Коэффициенты с пропорциональны преобразованию Адамара коэффициентов см. § 2.3.) Тогда весовой спектр элемента С задается вектором где

а весовая функция С

Как и в теореме 1, многочлен задается линейным преобразованием многочлена

Теорема 3.

что эквивалентно с учетом (5 15) равенствам:

Эта теорема и теорема 5 могут быть интерпретированы как теоремы Мак-Вильямс для нелинейных кодов

Доказательство. Соотношение (5 32) эквивалентно также равенству

В силу (5 30) левая часть этого равенства равна

согласно соотношениям (5 9) и (5 11) из §

Для любого -вектора такого, что

назовем вектор его преобразованием Мак-Вильямс. По теореме 3 оно может быть получено либо по формуле (5 31), либо по формуле (5 33)

Упражнения (17) Показать, что при

(18) Показать, что

(19) Показать, что

(20) Пусть линейный -код, и предположим, что смежный класс содержит векторов веса Используя равенство (5 31), показать, что преобразование от чисел равно где равно числу слов веса ортогональных вектору равно числу слов веса не ортогональных Следовательно, показать, что

Спектр расстояний в нелинейном коде. Пусть теперь — линейный или нелинейный -код. Этому коду соответствует элемент

групповой алгебры

Упражнение. (21). Показать, что, если код — линейный, то

Таким образом, теорема 1 является частным случаем теоремы 3.

Пусть линейный или нелинейный код. Пусть Если мы представим как элемент

то весовой спектр равен где

Лемма 4. Вектор представляет собой спектр расстояний кода . Доказательство.

Следовательно,

Применяя теорему 3 к элементу групповой алгебры получаем следующий результат.

Теорема 5. Преобразование Мак-Вильямс спектра расстояний кода равно

Доказательство. Утверждение вытекает из теоремы 3 и равенства

Свойства чисел

Теорема

Доказательство. Согласно определению и упражнению (12), получаем, что

Этот простой с виду результат оказался очень полезным (см. границу линейного программирования, § 17.4). Теорема 12 гл. 21 дает другое доказательство этого результата.

Теорема 7. (а). Если то

(b). для всех и для веса

(c). для некоторого и веса

Доказательство. Утверждение очевидно, а утверждения (b) и (с) следуют из (5.36) и (5.31).

Дуальное расстояние и ортогональные таблицы

Определение. Дуальным расстоянием кода называется число такое, что для всех Если код линейный, то минимальное расстояние дуального кода

Заметим, что при таком определении остаются справедливыми все соотношения (5.18) — (5.25) и упражнения (6) — (9) для спектра расстояний нелинейных кодов.

Пусть теперь будет -таблицей, строками которой являются все слова кода Если код линеен, то любые столбцов матрицы должны быть линейно независимы, в противном случае дуальный код содержал бы вектор веса (Это утверждение является двойственным к теореме 10 гл. 1.) Этот же результат справедлив также и для нелинейных кодов. Мы немного изменим его формулировку.

Теорема 8. Любые столбцов матрицы содержат каждый -вектор точно раз, и является наибольшим числом, удовлетворяющим этому свойству.

Замечание. Матрица с таким свойством называется ортогональной таблицей с ограничениями, двумя уровнями, силой и индексом (см. § 11.8).

Доказательство. Для доказательства первой половины вспомним, что из теоремы 7 следует равенство для всех векторов и веса Условие для всех и веса 1 влечет, что каждый столбец матрицы имеет нулей и единиц. Далее условие для всех и веса 2 влечет, что любые два столбца матрицы содержат каждую пару точно раз. Ясно, что подобные рассуждения можно продолжать вплоть до векторов и веса . С другой стороны, так как то имеется вектор и веса такой, что

Примеры (i) Рассмотрим (11, 12, 6)-код Адамара Так как это симплексный код, содержащий нулевое слово, то его спектр расстояний совпадает с весовым спектром

Преобразованный спектр получается из многочлена

и имеет следующий вид

Заметим, что Кроме того, в соответствии с теоремой 6 Эта таблица показывает, что

Список всех кодовых слов [12] находится в верхней половине рис. 2.1. Для иллюстрации теоремы 8 заметим, что в любых двух столбцах этой матрицы каждый из векторов встречается 3 раза

(ii) На рис 5 1 изображен -код. (см. упражнение (22) гл 15)

Рис. 5.1 Нелинейный (8, 16, 2) код

В этом коде спектры весов и расстояний снова совпадают

Преобразованный спектр получается из многочлена Но после упрощения этот многочлен

оказывается равным Поэтому для этого кода кроме того,

Этот код имеет еще одно необычное свойство, заключающееся в том, что Доказательство этого факта представляет собой хорошее упражнение по применению групповой алгебры.

Упражнения. (22). Показать, что если

и

Заметим, что в общем случае, мы не можем найти С, если известно только

Рассмотрим нелинейный (16, 256, 6)-код Нордстрома—Робинсона (см. § 2.8). Еще раз получаем, что (см. рис. 2.19). Этот код также обладает тем свойством, что хотя и довольно трудно доказать это непосредственно. Это будет следовать из результатов гл. 15.

(23). Пусть 4? — код и С определяется выражением (5.34). (i). Показать, что если и только если линейный код.

(ii). Показать, что если и только если линейный самодуальный код.

1
Оглавление
email@scask.ru