Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 621 622 623 624 625 626 627 628 629 630 631 632 633 634 635 636 637 638 639 640 641 642 643 644 645 646 647 648 649 650 651 652 653 654 655 656 657 658 659 660 661 662 663 664 665 666 667 668 669 670 671 672 673 674 675 676 677 678 679 680 681 682 683 684 685 686 687 688 689 690 691 692 693 694 695 696 697 698 699 700 701 702 703 704 705 706 707 708 709 710 711 712 713 714 715 716 717 718 719 720 721 722 723 724 725 726 727 728 729 730 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
17.4. ГРАНИЦЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯИногда для получения хороших оценок мощности кода с заданным спектром расстояний можно использовать линейное программирование. Мы начнем этот раздел с краткого описания линейного программирования. Затем будут даны приложения, сначала для произвольных двоичных кодое, а затем для равновесных кодов. Асимптотические результаты, справедливые для больших Линейное программирование (см., например, Симоньяр [1211] или Фикен [428]). Оно изучает методы нахождения максимума (или минимума) линейной формы, называемой целевой функцией, которая удовлетворяет некоторым линейным ограничениям. Типичная задача выглядит так. Задача. (I). Прямая задача линейного программирования. Найти действительные числа
при условии, что эти числа удовлетворяют неравенствам
Имеется двойственная задача связанная с этой, в которой число переменных равно числу ограничений в прямой задаче, а число ограничений равно числу переменных в прямой задаче. Задача. (II). Двойственная задача линейного программирования. Найти действительные числа
при условии, что эти числа удовлетворяют неравенствам
Обе задачи удобно формулировать на матричном языке: (I). Максимизировать
(II). Минимизировать
Вектор Теорема 15. Если
приводят к неравенству
Аналогично из условий
вытекает, что Теорема 16. (Теорема двойственности.) Пусть Доказательство. (Необходимость.) Предположим, что Теорема 17. (Теорема о дополнительной нежесткости.) Пусть соответственно. Тогда оба решения
и для каждого
Другими словами, если в ограничениях прямой задачи не выполняется равенство, то соответствующая переменная двойственной задачи должна равняться нулю, и наоборот. Доказательство может быть предоставлено читателю. Применения к кодам (Дельсарт [350—352]). Пусть
Преобразованный спектр
где Кроме того, Теперь нам будет весьма полезна теорема 6 гл. 5 (или теорема 12 гл. 21), которая утверждает, что
Таким образом, если Задача. (III). Найти числа
при условии, что
Следовательно, имеет место следующая теорема. Теорема 18. (Первый вариант границы линейного программирования для кодов.) Если Заметим, что задача (III) всегда имеет, конечно, следующее допустимое решение: Помимо (17.25) и (17.26) часто можно использовать другие ограничения на числа Пример. (Оптимальность кода Надлера.) Найдем максимально возможный код длины 12, исправляющий две ошибки. Если к такому коду добавить общую проверку на четность, то мы получим код длины 13 с минимальным расстоянием 6, расстояния между различными словами которого принимают только значения 6, 8, 10 и 12; предположим, что код Пусть
Тогда
(Всего имеется только 6 различных неравенств — см. упражнение (43) гл. 5.) Может быть найдено и другое неравенство. Ясно, что
(Легко доказать это непосредственно). Наконец, если
Поэтому, конечно,
Суммирование по всем
В действительности оказываются достаточными ограничение (17.28) и первые два ограничения (17.27), так что мы рассмотрим следующую задачу: максимизировать
и
Двойственная задача такова: минимизировать
и
Допустимыми решениями обеих этих задач являются следующие решения:
На самом деле, так как соответствующие целевые функции равны
то согласно теореме 16 решения (17.31) и (17.32) оптимальны. (Эти решения легко получаются вручную, если воспользоваться симплекс-методом, см. [428] или [1211].) Следующие рассуждения показывают, что (17.31) — единственное оптимальное решение. Пусть
Таким образом, Заметим, что этот метод дал нам спектр расстояний кода Кроме того, так как первые два условия (17.27) выполняются со знаком равенства, то в преобразованном спектре Если получаемая методом линейного программирования граница оказывается нечетным числом, скажем,
Внутренняя сумма содержит нечетное число элементов
Следующий пример показывает, как это используется. Пример. код длины 9 с расстоянием 4, имеющий спектр расстояний
и, кроме того, мы можем добавить следующие ограничения:
которые доказываются так же, как и неравенства (17.28). С помощью линейного программирования мы находим, что наибольшее значение суммы чисел Предположим, что
так что Вернемся к общему случаю и рассмотрим задачу, двойственную задаче (III). Это позволит нам получить аналитические границы. Двойственная задача такова. Задача (IV). Найти числа
при условии, что
Переход к двойственной задаче имеет то преимущество, что любое допустимое решение задачи (IV) согласно теореме 15 является верхней границей для объема кода. В то же время только оптимальное решение задачи (III) дает верхнюю оценку. Оказалось, что допустимое решение задачи (IV) проще всего выражать посредством многочлена, который мы обозначим через
Тогда Доказательство.
Из предыдущего замечания мы сразу же получаем следующую теорему. Теорема 20. (Второй вариант границы линейного программирования для кодов.) (Дельсарт [350].) Предположим, что мы можем найти многочлен
то
Тогда, если
Следствие
удовлетворяет условиям
то
Из теоремы 17 вытекает, что любой код, для которого в (17.43) имеет место равенство, должен удовлетворять следующим дополнительным свойствам. Теорема 22. Пусть
и
Примеры. (1). Мы начнем с очень простого примера и покажем, что код, дуальный к коду Хэмминга, оптимален. Для этого мы воспользуемся следствием 21, чтобы показать, что код
так что
условия следствия 21 выполняются, и поэтому согласно оценке (17.44)
Таким образом, код, дуальный к коду Хэмминга, оптимален. Более того, согласно теореме (2). Код Адамара (3). Найдем теперь границу для объема кода с минимальным расстоянием Упражнение. (16). (Дельсарт.) Получить из следствия 21 границу сферической упаковки. [Указание. Пусть
где
Пример. (4). (Граница Синглтона (Дельсарт).) Чтобы выполнялись условия следствия 21, можно положить
Коэффициенты определяются следующим образом (теорема 20 гл. 5):
Для получения последнего равенства мы воспользовались упражнением (41) гл. 5. Заметим, что если
Полученное неравенство является обобщением границы Синглтона (гл. 1, теорема 11) для нелинейных кодов. Упражнения. (17). Показать, что если (18). (Дельсарт.) Пусть
при условии, что знаменатель положителен. Неравенство (17.46) известно как граница Грея — Рэнкина (см. работы Грея [561] и Рэнкина [1090, 1091]). [Указание. Образовать Заметим, что для конференс-матричных (19). Показать, что каждое допустимое решение задачи (III) удовлетворяет неравенству (20). (Мак-Элис [944]). Другой вариант следствия 21: если многочлен
удовлетворяет условиям
то
[Указание. Положить (21). ([944]). Для четного (22). ([944]). Для значений
где Задача (нерешенная). (17.5). Дать комбинаторное доказательство того, что Граница линейного программирования для равновесных кодов. (Дельсарт [352].) Для равновесных кодов также справедлива граница линейного программирования. Пусть Обозначим через
и коэффициенты
представляет собой многочлен Эберлейна (см. § 21.6). Таким образом, с помощью линейного программирования можно получить оценки величины Пример.
Таким образом, Задача (нерешенная) (17.6). Существует ли код с таким спектром расстояний? Именно таким путем были получены значения, приведенные на рис. ПА.З и помеченные там буквой
|
1 |
Оглавление
|