Главная > Теория кодов, исправляющих ошибки
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

17.4. ГРАНИЦЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Иногда для получения хороших оценок мощности кода с заданным спектром расстояний можно использовать линейное программирование. Мы начнем этот раздел с краткого описания линейного программирования. Затем будут даны приложения, сначала для произвольных двоичных кодое, а затем для равновесных кодов. Асимптотические результаты, справедливые для больших излагаются в § 17.7.

Линейное программирование (см., например, Симоньяр [1211] или Фикен [428]). Оно изучает методы нахождения максимума (или минимума) линейной формы, называемой целевой функцией, которая удовлетворяет некоторым линейным ограничениям. Типичная задача выглядит так.

Задача. (I). Прямая задача линейного программирования. Найти действительные числа так, чтобы максимизировать целевую функцию

при условии, что эти числа удовлетворяют неравенствам

Имеется двойственная задача связанная с этой, в которой число переменных равно числу ограничений в прямой задаче, а число ограничений равно числу переменных в прямой задаче.

Задача. (II). Двойственная задача линейного программирования. Найти действительные числа так, чтобы минимизировать

при условии, что эти числа удовлетворяют неравенствам

Обе задачи удобно формулировать на матричном языке:

(I). Максимизировать при условии, что

(II). Минимизировать при условии, что

Вектор называется допустимым решением задачи (I) или (I), если он удовлетворяет соответствующим неравенствам, и оптимальным решением, если он также максимизирует Аналогичные определения справедливы для задачи (II). Основные факты, которые нам понадобятся, приведены в следующих трех теоремах.

Теорема 15. Если допустимые решения задач (I) и (II) соответственно, то Доказательство. Условия

приводят к неравенству

Аналогично из условий

вытекает, что . Поэтому

Теорема 16. (Теорема двойственности.) Пусть допустимые решения задач (I) и (II) соответственно. Тогда оба решения оптимальны, если и только если

Доказательство. (Необходимость.) Предположим, что но не оптимально. Тогда существует допустимое решение у задачи (I) такое, что что противоречит предыдущей теореме. Вторая половина доказательства опущена (см. [1211]).

Теорема 17. (Теорема о дополнительной нежесткости.) Пусть являются допустимыми решениями задач (I) и (II)

соответственно. Тогда оба решения оптимальны, если и только если для каждого

и для каждого

Другими словами, если в ограничениях прямой задачи не выполняется равенство, то соответствующая переменная двойственной задачи должна равняться нулю, и наоборот.

Доказательство может быть предоставлено читателю.

Применения к кодам (Дельсарт [350—352]). Пусть двоичный -код, в котором расстояния между кодовыми словами принимают значения Пусть спектр расстояний кода т. е. среднее число кодовых слов, находящихся на расстоянии от фиксированного кодового слова (см. § 2.1). Таким образом, в остальных случаях. Кроме того,

Преобразованный спектр задается формулой (теорема 5 гл. 5)

где многочлен Кравчука (см. § 5.2).

Кроме того,

Теперь нам будет весьма полезна теорема 6 гл. 5 (или теорема 12 гл. 21), которая утверждает, что

Таким образом, если произвольный код, расстояния между словами которого принимают значения то представляет собой допустимое решение следующей задачи линейного программирования.

Задача. (III). Найти числа максимизирующие

при условии, что

Следовательно, имеет место следующая теорема.

Теорема 18. (Первый вариант границы линейного программирования для кодов.) Если — оптимальное решенне задачи (III), то величина является верхней границей для объема кода

Заметим, что задача (III) всегда имеет, конечно, следующее допустимое решение: для всех

Помимо (17.25) и (17.26) часто можно использовать другие ограничения на числа Мы проиллюстрируем на примере.

Пример. (Оптимальность кода Надлера.) Найдем максимально возможный код длины 12, исправляющий две ошибки. Если к такому коду добавить общую проверку на четность, то мы получим код длины 13 с минимальным расстоянием 6, расстояния между различными словами которого принимают только значения 6, 8, 10 и 12; предположим, что код содержит кодовых слов.

Пусть обозначает число слов кода находящихся на расстоянии от слова Выпишем спектр расстояний этого кода

Тогда и все числа равны нулю, кроме (возможно) Неравенства (17.26) принимают вид:

(Всего имеется только 6 различных неравенств — см. упражнение (43) гл. 5.)

Может быть найдено и другое неравенство. Ясно, что (если мы выберем , то нетрудно видеть, что число векторов веса 12 равно самое большее одному). Кроме того,

(Легко доказать это непосредственно). Наконец, если

Поэтому, конечно,

Суммирование по всем дает новое неравенство

В действительности оказываются достаточными ограничение (17.28) и первые два ограничения (17.27), так что мы рассмотрим следующую задачу:

максимизировать при условии, что

и

Двойственная задача такова:

минимизировать при условии, что

и

Допустимыми решениями обеих этих задач являются следующие решения:

На самом деле, так как соответствующие целевые функции равны

то согласно теореме 16 решения (17.31) и (17.32) оптимальны. (Эти решения легко получаются вручную, если воспользоваться симплекс-методом, см. [428] или [1211].)

Следующие рассуждения показывают, что (17.31) — единственное оптимальное решение. Пусть обозначает другое оптимальное решение прямой задачи. Все числа задаваемые (17.32), положительны и удовлетворяют первым трем ограничениям (17.30) со знаком равенства, а четвертому — нет. Следовательно, по теореме 17 числа , должны удовлетворять ограничениям (17.29) прямой задачи со знаком равенства, и причем Эти уравнения имеют единственное решение

Таким образом, -единственное оптимальное решение. Решение (17.31) удовлетворяет также и другим ограничениям (17.27), и, следовательно, по теореме 18 код имеет самое большее, 32 кодовых слова. Таким образом, мы доказали, что любой код длины 12, исправляющий двойные ошибки, имеет не более 32 кодовых слов. Эта граница достигается кодом Надлера из § 2.8.

Заметим, что этот метод дал нам спектр расстояний кода Кроме того, так как первые два условия (17.27) выполняются со знаком равенства, то в преобразованном спектре Но в коде встречаются всего три ненулевых значения расстояния. Следовательно, согласно теореме 6 гл. 6 код инвариантен относительно расстояния и для всех векторов (Эти замечания относятся только к расширенному коду а не к исходному коду длины 12.)

Если получаемая методом линейного программирования граница оказывается нечетным числом, скажем, нечетное, то эта оценка может быть иногда уменьшена с помощью следующего рассуждения (см. Бест и др. [140]). Если предположить, что то из выражения (5.36) получаем

Внутренняя сумма содержит нечетное число элементов и поэтому не равна нулю. Следовательно, т. е. мы можем заменить (17.26) более сильным условием

Следующий пример показывает, как это используется. Пример. Пусть — максимальный код длины , исправляющий одиночные ошибки, и пусть — расширенный

код длины 9 с расстоянием 4, имеющий спектр расстояний Условия (17.26) таковы:

и, кроме того, мы можем добавить следующие ограничения:

которые доказываются так же, как и неравенства (17.28). С помощью линейного программирования мы находим, что наибольшее значение суммы чисел удовлетворяющих условиям (17.34) и (17.35), равно так что

Предположим, что Тогда имеет место неравенство (17.33) и правая часть (17.34) может быть умножена на 20/21. Теперь линейное программирование дает следующий результат:

так что Поскольку в гл. 2 приводился -код, отсюда получаем, что Таким способом были получены многие оценки, приведенные на рис.

Вернемся к общему случаю и рассмотрим задачу, двойственную задаче (III). Это позволит нам получить аналитические границы. Двойственная задача такова.

Задача (IV). Найти числа минимизирующие

при условии, что

Переход к двойственной задаче имеет то преимущество, что любое допустимое решение задачи (IV) согласно теореме 15 является верхней границей для объема кода. В то же время только оптимальное решение задачи (III) дает верхнюю оценку. Оказалось, что допустимое решение задачи (IV) проще всего выражать посредством многочлена, который мы обозначим через Лемма 19. Пусть

Тогда представляет собой допустимое решение задачи (IV), если и только если для для

Доказательство.

Из предыдущего замечания мы сразу же получаем следующую теорему.

Теорема 20. (Второй вариант границы линейного программирования для кодов.) (Дельсарт [350].) Предположим, что мы можем найти многочлен степени не более удовлетворяющий следующим свойствам. Если разложение по многочленам Кравчука имеет вид

то должен удовлетворять условиям

Тогда, если — произвольный код длины расстояния между различными словами которого принимают значения то

Следствие Если многочлен

удовлетворяет условиям для

то

Из теоремы 17 вытекает, что любой код, для которого в (17.43) имеет место равенство, должен удовлетворять следующим дополнительным свойствам.

Теорема 22. Пусть являются допустимыми решениями задач (III) и (IV) соответственно. Они являются оптимальными решениями тогда и только тогда, когда

и

Примеры. (1). Мы начнем с очень простого примера и покажем, что код, дуальный к коду Хэмминга, оптимален. Для этого мы воспользуемся следствием 21, чтобы показать, что код длины с минимальным расстоянием может иметь самое большее кодовых слов. (Конечно, это следует также из теоремы Выберем многочлен

так что для Поскольку

условия следствия 21 выполняются, и поэтому согласно оценке (17.44)

Таким образом, код, дуальный к коду Хэмминга, оптимален. Более того, согласно теореме в коде для всех поэтому в коде встречается только одно ненулевое расстояние, а именно

(2). Код Адамара из гл. 2 с параметрами оптимален: (другой частный случай теоремы 11а). Чтобы показать это, воспользуемся следствием 21 с

(3). Найдем теперь границу для объема кода с минимальным расстоянием используя линейный многочлен скажем, где Нам нужно, чтобы выполнялись неравенства и значение было минимально возможным. Наилучший выбор — положить т. е. Тогда неравенство (17.44) дает следующую оценку: Итак, мы получили более слабую версию границы Плоткина из теоремы 11.

Упражнение. (16). (Дельсарт.) Получить из следствия 21 границу сферической упаковки. [Указание. Пусть Положим

где многочлен Ллойда (см. теорему 32 гл. 6). Воспользуемся следствием 18 гл. 5, чтобы показать, что

Пример. (4). (Граница Синглтона (Дельсарт).) Чтобы выполнялись условия следствия 21, можно положить для Таким образом, мы имеем

Коэффициенты определяются следующим образом (теорема 20 гл. 5):

Для получения последнего равенства мы воспользовались упражнением (41) гл. 5. Заметим, что для Следовательно, верно утверждение:

если произвольный двоичный -код, то

Полученное неравенство является обобщением границы Синглтона (гл. 1, теорема 11) для нелинейных кодов.

Упражнения. (17). Показать, что если -код над полем то

(18). (Дельсарт.) Пусть двоичный -код, удовлетворяющий следующему свойству: если то дополнительный вектор и также принадлежит (Пример: любой линейный код, содержащий вектор из всех единиц.) Доказать, что

при условии, что знаменатель положителен. Неравенство (17.46) известно как граница Грея — Рэнкина (см. работы Грея [561] и Рэнкина [1090, 1091]). [Указание. Образовать -код выбирая по одному кодовому слову из каждой пары дополнительных векторов кода Тогда расстояния в коде принимают ненулевые значения в диапазоне Далее воспользоваться многочленом где а — соответствующим образом подобранная константа.]

Заметим, что для конференс-матричных -кодов из § 2.4 в условии (17.46) имеет место равенство, однако коды не могут быть разбиты на пары дополнительных векторов (см. задачу (нерешенную) (2.2)).

(19). Показать, что каждое допустимое решение задачи (III) удовлетворяет неравенству

(20). (Мак-Элис [944]). Другой вариант следствия 21: если многочлен

удовлетворяет условиям

то

[Указание. Положить и воспользоваться следствием 18 из гл. 5.]

(21). ([944]). Для четного выбрать в качестве квадратный многочлен с и вновь сделать упражнение (11).

(22). ([944]). Для значений выбрать

где и показать, что Показать, в частности, что

Задача (нерешенная). (17.5). Дать комбинаторное доказательство того, что

Граница линейного программирования для равновесных кодов. (Дельсарт [352].) Для равновесных кодов также справедлива граница линейного программирования. Пусть обозначает двоичный код длины веса с расстоянием 26. Тогда

Обозначим через спектр расстояний кода 3). Как следует из теории схем отношений (см. теорему 12 гл. 21), преобразованные величины неотрицательны, где

и коэффициенты определяются равенствами

а многочлен

представляет собой многочлен Эберлейна (см. § 21.6).

Таким образом, с помощью линейного программирования можно получить оценки величины для этого нужно максимизировать где для всех Как и ранее, часто можно использовать дополнительные ограничения.

Пример. Когда переменные должны удовлетворять дополнительному ограничению, а именно (см. приложение А) (так как не превышает числа векторов веса 8, отличных от фиксированного вектора веса 8 и находящихся друг от друга по крайней мере на расстоянии 10). С помощью линейного программирования можно получить, что при заданных ограничениях максимум суммы равен 68 и достигается, когда

Таким образом,

Задача (нерешенная) (17.6). Существует ли код с таким спектром расстояний?

Именно таким путем были получены значения, приведенные на рис. ПА.З и помеченные там буквой Для оценки величины также можно использовать границу линейного программирования (см. Бест и др. [140]).

1
Оглавление
email@scask.ru