18.3. НЕ ВСЕ ЦИКЛИЧЕСКИЕ КОДЫ ЯВЛЯЮТСЯ ПРЯМЫМИ ПРОИЗВЕДЕНИЯМИ ЦИКЛИЧЕСКИХ КОДОВ
Предположим, например, что 
невырожденный неприводимый двоичный циклический 
-код, у которого 
Покажем сейчас, что только в определенных случаях код можно представить как где 
и 
— циклические коды длины 
Пусть 
обозначают ненули кода 
где 
— примитивный корень 
степени из единицы в поле 
Так как 
то согласно § 12.8 существуют целые числа 
такие, что 
Положим 
, и пусть 
наименьшие целые числа, для которых 
Теорема 2. Циклические коды и 
длины 
такие, что 
существуют тогда и только тогда, когда 
(Размерности кодов и Я равны в этом случае 
Доказательство. Применение подстановки 
переводит любое кодовое слово в матрицу размера 
описываемую многочленом 
Заметим, что 
у и аналогично 
Тогда 
аналогично 
Следовательно, столбцы образованной таким образом матрицы образуют циклический код, скажем, 
а строки образуют циклический код
Далее 
Поэтому ненули кода 
суть элементы 
Лемма 3. Ненулями кодов 
и являются элементы 
соответственно.
Доказательство. Пусть 
корень 
степени из единицы, не принадлежащий множеству 
и пусть
произвольный корень 
степени из единицы. Таким образом, 
является нулем кода 
Пусть 
обозначает ненулевое слово кода где 
строка. Тогда равенство
выполняется для всех 
выборов элементов 
что дает 
линейных однородных уравнений относительно неизвестных 
. Так как коэффициенты при неизвестных образуют матрицу Вандермонда (см. лемму 17 гл. 4) и, следовательно, невырожденную матрицу, то 
для всех 
Поэтому элемент 
является нулем кода образованного строками. Следовательно, ненулями кода 
должны быть элементы, указанные в формулировке леммы. Доказательство для кода 
аналогично.
Ясно, что 
делят 
и действительно, если 
то 
Отсюда теорема выводится просто. Если 
то 
и С другой стороны, если 
то 
следовательно, 
Примеры. (3). Пусть 
обозначает [15, 4, 8] циклический код с порождающим идемпотентом 
Пусть 
. Ненулями 
являются элементы 
где 
Тогда 
Так как числа 2 и 4 не взаимно просты, то 
Действительно, 
и 
представляют собой 
и 
-коды соответственно, а их произведение 
представляет собой 
-код.
(4). Пусть 
-код, рассмотренный в упражнения (6), ненулями которого являются элементы 
где 
Тогда 
и на самом деле код 
представляется в виде прямого произведения 
