4.8. БАЗИСЫ GF(p^m) НАД GF(p)

GF(p^m) является векторным пространством размерности над Любое множество из линейно независимых элементов может быть выбрано в качестве базиса этого векторного пространства

При задании поля примитивным неприводимым многочленом в качестве базиса мы выбирали элементы где а — корень многочлена Однако имеются и другие возможности.

След.

Определение. Сумма

называется следом элемента Так как

то согласно теореме принимает одно из значений [т. е. является элементом поля GF(p)]. В частности, след элемента из равен 0 или 1.

Упражнение. (26). Показать, что след обладает следующими свойствами:

(ii). Каждое из значений в функция принимает одинаковое число раз, т. е. раз. [Указание. Согласно упражнению не может быть тождественным нулем.)

(v). Пусть многочлен вида

Показать, что для любого

(vi). Показать, что если минимальный многочлен элемента то

Лемма 17. (Матрица Вандермонда.) Матрица

где элементы некоторого конечного поля, называется матрицей Вандермонда. Ее определитель равен

и всегда отличен от нуля, если различны.

Доказательство. Легко показать, что этот определитель равен

Теперь результат сразу следует по индукции.

Дополнительные базисы. В остальной части этого параграфа мы ограничимся полями характеристики

Два базиса называются дополнительными, если

Иногда такие базисы называются двойственными. Лемма 18. Пусть базис. Матрица

обратима, и

Доказательство. Выражая базис через базис получаем, что

где С — некоторая двоичная матрица. Тогда

Эта матрица обратима согласно лемме 17, и, следовательно матрица В также обратима. Далее, матрица

является двоичной, так что ее определитель равен 0 или 1. Таким образом, откуда следует, что Упражнение. (27). Если базис, то по меньшей мере для одного

Теорема 19. Для каждого базиса существует дополнительный базис.

Доказательство. Напомним, что матрица, обратная к матрице-, получается путем замены на алгебраическое дополнение элемента деленное на Легко видеть, что -вид

где линейно независимы над

Тогда из равенства вытекает, что базисы являются дополнительными.

Упражнение. (28). Если то