13.8. ДРУГИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ КОДЫ

Разностные циклические коды. Пусть —проективная плоскость порядка (см. приложения о конечных геометриях). Плоскость содержит точек, которые могут быть заданы тройками элементов

Подчеркнем, что представляет собой ту же точку, что и Каждую тройку можно рассматривать как элемент поля она может быть представлена как некоторая степень примитивного элемента а поля Некоторое скалярное кратное каждой тройки равно для Перенумеруем точек плоскости этими степенями а.

Пусть -прямая в плоскости Вектор инцидентности этой прямой содержит единицу точно в координатах Согласно доказательству теоремы 9 любой циклический сдвиг этого вектора равен вектору инцидентности другой прямой. Так как имеется всего циклических сдвигов и прямых, то каждая прямая плоскости получается таким образом.

Пусть — код над образуемый этими векторами инцидентности, и пусть Ясно, что — циклический код с блоковой длиной По теореме 13 размерность кода равна с

Код допускает мажоритарное декодирование в один шаг, так как векторы инцидентности прямых, проходящих через одну точку плоскости образуют множество ортогональных проверок относительно этой координаты. (Проверки ортогональны потому, что две прямые, проходящие через данную точку, не имеют других общих точек.) Согласно следствию 16 одношаговое мажоритарное декодирование позволяет исправлять ошибок, и минимальное расстояние кода равно по меньшей мере

Примеры. (1). Простейший пример получается при Это опять приводит к показанному на рис. 13.7 двоичному [7, 3, 4] симплексному коду

(2). Если то порождается прямыми проективной плоскости порядка является [21, 11, 6] двоичным кодом.

Эти коды тесно связаны с разностными множествами.

Определение. Плоскостным разностным множеством по модулю называется множество I чисел таких, что разности приведенные по модулю пробегают в некотором порядке в точности числа

Примеры. (1). При числа образуют плоскостное разностное множество по модулю 7. Действительно, разности по модулю 7 равны: .

(2). является разностным множеством по модулю разностным множеством по модулю 21.

Все известные плоскостные разностные множества исчерпываются теми, которые получаются из проективных плоскостей порядка следующим образом: пусть точки некоторой прямой линии в плоскости Тогда числа образуют

плоскостное разностное множество. Действительно, предположим, что некоторые две разности равны, скажем, при

Тогда циклический сдвиг этой линии, переводящий точку в точку дает новую прямую линию, которая пересекается с исходной в двух точках, что приводит к противоречию. Таким образом, мы доказали следующий результат.

Теорема 22. (Зингер.) Если точки прямой линии в проективной плоскости то числа образуют плоскостное разностное множество по модулю

Задача (нерешенная). (13.3). Существуют ли другие плоскостные разностные множества?

Евклидово-геометрические и проективно-геометрические коды. Выберем в качестве не код, порожденный векторами инцидентности прямых линий проективной плоскости, а код, образованный векторами инцидентности всех -мерных плоскостей в евклидовой геометрии или в проективной геометрии Тогда называется соответственно евклидово-геометрическим или проективно-геометрическим кодом. Для размерностей этих кодов не существует простых формул. Декодирование может быть осуществлено с помощью -шагового мажоритарного декодера, так же как и для РМ кодов. Более подробное описание свойств этих кодов и их обобщения можно найти в работах, указанных в замечаниях к главе. Все эти коды можно рассматривать как обобщения РМ кодов.