16.4. РАСШИРЕННЫЕ КВАДРАТИЧНО-ВЫЧЕТНЫЕ КОДЫ

Сначала мы найдем коды, дуальные к КВ-кодам. Теорема 6.

В обоих случаях

Доказательство. Предположим, что Нулями кода являются элементы для всех Следовательно, согласно теореме 4 гл. 7 нулями кода являются элементы для всех Но так что Согласно теоремам 2 и 4

откуда вытекает (16.20).

Аналогично доказываются и остальные утверждения. О

Найдем теперь порождающие матрицы этих кодов. Пусть

(страница пропущена)

Расширенные КВ-коды. КВ-коды можно расширить путем добавления общей проверки на четность таким образом, что

где обозначает расширенный код.

Если слово кода 2 (или то расширенный код получается путем дописывания позиции

где

Так как то отсюда следует, что где (допустим любой выбор знака). Отметим, что у выбирается так, что слово ( кода 2 (или кода ортогонально самому себе. Если I равно 2 или 3, то у можно выбрать равным 1. Коды являются -кодами.

Теорема 7. Если то расширенные КВ-коды самодуальны.

Доказательство. Порождающая матрица кода 2 получается из матрицы (16.23) добавлением одного столбца и имеет вид

Поскольку каждая строка матрицы ортогональна самой себе и любой другой строке матрицы Следовательно, и каждая строка матрицы ортогональна самой себе и любой другой строке матрицы так, что . А так как ранг матрицы равен то

Таким образом, расширенные коды Голея самодуальны.

Замечание. Если то расширенный код можно определить так, чтобы выполнялось равенство

Теорема Если то вес каждого слова кода 2 кратен 4, а вес каждого слова кода 2 сравним с 0 или 3 по модулю 4.

(ii). Если всякого ограничения на вес каждого слова кода 5? кратен 3, а вес каждого слова кода 9? сравним с О или 2 по модулю 3.

Доказательство, (i). Если 2 — квадратичный вычет по модулю то согласно теореме Таким образом, мы можем предположить, что Число вычетов и невычетов в этом случае равно следовательно, вес каждой строки матрицы кратен 4. Тогда утверждение теоремы вытекает непосредственно из упражнения 38 гл. Если то по теореме . А так как то и отсюда сразу вытекает утверждение теоремы.

Замечание. Если то единственное, что мы можем сказать о весе слов кода это то, что он четен.

Применение. Из теорем 1 и 8 следует, что минимальное расстояние кодов равно соответственно 7 и 5. Поэтому код 24 содержит слова только веса 0, 8, 12, 16 и 24 (как мы видели в гл. 2), а код только слова веса 0, 6, 9 и 12 (см. гл. 19).

Упражнение. (1). Доказать асимптотическую нормальность спектра весов квадратично-вычетного кода. [Указание. Воспользоваться теоремой 23 гл. 9.]