На рис. ПА.2 приведена обширная таблица наилучших известных кодов, которая покрывает диапазон 
Таким образом, рис. ПА.2 дает нижние границы для 
На рис. ПА.З приведена таблица значений 
числа кодовых слов в наибольшем возможном равновесном двоичном коде длины 
веса 
с расстоянием 
при 
Эти таблицы служат как справочник очень хороших кодов, как эталон при оценке качества новых кодов и как примеры методов построения, описанных в книге. Мы были бы чрезвычайно признательны узнать о тех или иных улучшениях этих таблиц (предложения высылайте по адресу: N. J. A. Sloane, Math. Research Center, Bell Labs, Murray Hill, New Jersey, 07974, USA).
Многие из нижних оценок, приведенных на рис. ПА.З, чрезвычайно слабы (или они отсутствуют).
Общие замечания
(1). С точки зрения теорем 1а и 10а гл. 17 достаточно построить таблицы только для нечетных значений 
(или только для четных значений).
(2). Код, приведенный без ссылки, часто получается добавлением нулей к более короткому коду. (Таким образом, 
(3). Заслуживают упоминания некоторые другие таблицы: таблица Берлекэмпа [113] избранных линейных кодов длины менее 100 и их 
спектры; таблица Ченя [266] всех циклических кодов длины не более 65; таблица Дельсарта и др. [368] верхних оценок для 
таблица Хелгерта и Стинаффа [636] верхних и нижних оценок для линейных кодов длины не более 127; таблицы Джонсона [695, 696] верхних оценок для 
и 
и таблица Мак-Элиса и др. [946] верхних оценок для величины 
Кроме того, ряд полезных таблиц содержит книга Питерсона и Уэлдона [1040].
Задача (нерешенная). 
Весьма полезным был бы расширенный вариант таблицы Берлекэмпа, в которой были бы приведены весовые спектры ряда наилучших линейных и инвариантных относительно расстояния нелинейных кодов длины вплоть до 512.
2. Небольшая таблица значений A(n, d) (рис. ПА.1)
На рис. ПА.1 приведены верхняя и нижняя оценки величины 
Теорема Плоткина — Левенштейна (теорема 11 гл. 17) дает все коды в этой таблице, лежащие не ниже прямой 
Отсутствие ссылок при верхних границах ниже прямой 
означает, что они получены с помощью линейного программирования (§ 17.4) или с помощью теоремы 
из гл. 17. Нижние границы продолжены на рис. 
Задача (нерешенная). 
Конечно, все неизвестные случаи в этих таблицах являются нерешенными задачами. В частности, возможно, существует один особенно интересный код с параметрами (20. 4096, 5), соответствующий значению 
Согласно границе линейного программирования (§ 17.4) весовой спектр расширенного 
-кода имел бы следующий вид. 
Объяснения к рис. ПА.1
(см. скан)
Рис. ПА.2. (см. скан) Наилучшие известные коды длины вплоть до 512 с минимальным расстоянием вплоть до 29 Для каждой длины 
и минимального расстояния 
в таблице приводится наименьшая избыточность 
кодовых слов) любого известного двоичного кода.
Замечания. Последние поправки внесены 12 августа 
Коды не обязательно должны быть линейными. Более ранний вариант этой таблицы появился в работе [1225].
(см. скан)
(см. скан)
Число кодовых слов на рис. ПА.2. Если избыточность 
где I — целое число, а X заключено между 0 и 1, то число кодовых слов равно
где F задается следующей таблицей:
(см. скан)
(см. скан)
4. Таблица значений A(n, d, w) (рис. ПА.3)
Эта таблица важна, так как она ведет к оценкам величины 
(§ 17.3), сама по себе представляет границы равновесных кодов (§ 17.2) и, наконец, дает решения задачи об упаковке. Иногда задача об упаковке формулируется
следующим образом. Найти 
максимальное число 
-множеств из 
-множества 
так чтобы каждое 
-множество из 
принадлежало самое большее одному 
-множеству (см., например, Гарднер [467], Калбфлейш и др. [708—711], Миллс [957—959], Стентон [1265], Стентон и др. [1267—1271] и Свифт [1295]. См. также задачу о футбольном тотализаторе, упоминавшуюся в гл. 7.). Так как 
то рис. 
дает также и таблицу значений 
Отсутствие ссылки при верхних границах на рис. 3 означает, что они получены из оценок Джонсона (теоремы 1—4 и упражнение (2) из гл. 17) или из упражнения (4) гл. 17. Неотмеченные нижние оценки также получены из теоремы 4 и упражнения (2) гл. 17 или могут быть найдены несложными построениями. Значения маленьких букв объяснено ниже. Буквы слева относятся к нижним оценкам, а буквы справа — к верхним. Возможно, существует несколько способов построения одного из указанных кодов, но отмечается только простейший из них. Немного более поздний вариант этой таблицы появится в работе Беста и др. [140]
Упражнение. (1). Используя последнюю строку на рис. 5 гл. 14, показать, что 
Задача (нерешенная). 
Известно, что 2-(17, 6, 15) схема существует (Ханани [600]). Но имеется ли такая 2-(17, 6, 15) схема, что ее блоки образуют код, существование которого доказывает, что 
Задача (нерешенная). 
Укажем еще параметры равновесных кодов и их спектры расстояний (найденные с помощью линейного программирования), которые могут существовать: 
Задача (нерешенная). 
Верно ли, что если 
то 
Объяснения к рис. ПА.3
(см. скан)
приведена таблица верхней и нижней границ для величины 
т. е. числа кодовых слов в максимально возможном (линейном или нелинейном) двоичном коде длины 
с минимальным расстоянием 
при 
и
обозначает мощность наибольшего известного (линейного или нелинейного) двоичного кода длины 
с минимальным расстоянием 
На рис. ПА.2 приведена таблица избыточности 
этого кода.
не обязательно целое. Небольшая таблица после рис. ПА.2 облегчает нахождение 
при заданном 
Если 
где I — целое число и 
то число кодовых слов равно
приводится в таблице. Например, рассмотрим строку
и число кодовых слов равно
-код типа 
(см. перечень всех типов кодов в конце рис. ПА.2), который был построен Голеем [509] (см. § 2.7).
строка таблицы
обозначает циклический код или укороченный циклический код.
