15.3. СПЕКТР ВЕСОВ ПРОИЗВОЛЬНЫХ КОДОВ РИДА—МАЛЛЕРА

Спектр весов РМ-кода первого порядка равен

а спектр весов РМ-кода второго порядка описывается теоремой 8. Далее, так как код ортогонален коду то согласно теореме 4 гл. 5 спектры весов кодов (расширенного кода Хэмминга) и кода также известны. Однако ни для какого другого общего класса кодов Рида-Маллера такой формулы нет.

Задача (нерешенная). (15.1). Найти спектр весов кодов

Тем не менее имеется несколько общих результатов о весовых функциях кодов которые мы сейчас сформулируем без доказательств.

Как показано в теореме 8, минимальное расстояние кода равно а все веса в диапазоне от до имеюг вид для некоторого Это свойство характерно для всех РМ-кодов; действительно, Касами и Токура нашли число

слов веса в коде для всех самом деле для всех ниже). Для этого они выписали канонические формы всех соответствующих булевых функций.

Теорема 10. Пусть булева функция, степень которой не превосходит для такая, что Тогда существует аффинное преобразование, приводящее к одной из форм:

где удовлетворяет неравенствам или

где удовлетворяет неравенствам

Используя этот результат и теорему 8, Касами и Токура [745] доказали следующую теорему.

Теорема 11. (Спектр весов кода в диапазоне от до Пусть число слов веса в коде для причем

Положим Тогда:

(i). , за исключением для некоторого в диапазоне Случай соответствует весу и описан теоремой гл. 13.

(iv). Если то равно сумме величин (15.16) и (15.17).

Теорема 11 была распространена Касами, Токурой и Азуми [746] на слова, веса которых не превосходят однако используемая для этого алгебра усложняется настолько, что для дальнейшего продвижения в этом направлении представляется необходимым искать иной подход.

К настоящему времени известны весовые функции кодов Рида-Маллера для всех (см. Касами и др. [746], Сервейт [1144], Сагино и др. [1248] и Ван Тилборг [1325]). Наименьшими РМ-кодами, для которых весовые функции в настоящее время (в 1977 г.) неизвестны, являются

Второй общий результат, даваемый теоремой состоит в том, что вес каждого слова кода делится на Этот результат вытекает из следующего утверждения.

Теорема 12. (Мак-Элис [939, 941].) Если двоичный циклический код, то вес каждого слова из делится на где

I — наименьшее целое число такое, что произведение ненулей (разрешаются повторения) кода равно 1.

Доказательство этой теоремы является трудным и опускается.

Следствие 13. Вес каждого слова в коде кратен

Доказательство. Согласно уравнению (13.10) элемент

—2, является ненулем выколотого циклического кода тогда и только тогда, когда двоичное разложение числа содержит от 1 до единиц. Далее произведение равно единице тогда и только тогда, когда

Взяв двоичное разложение левой и правой частей этого равенства, видим, что каждый член слева содержит не более единиц, в то время как справа имеется единиц. Отсюда вытекает, что наименьшее I, для которого имеет место (15.18), равно Тогда утверждение следует сразу из теоремы 12.

Пример. Веса кода делятся на 22, что мы и видели в примере, следующем за теоремой 8.