18.8.2. ОБОБЩЕННЫЕ КАСКАДНЫЕ КОДЫ ЗИНОВЬЕВА

Эта конструкция обобщает каскадные коды и приводит к целому ряду хороших кодов (помеченных буквами на рис.

Для построения этих кодов требуются следующие исходные коды: (1). Семейство кодов -где является -кодом над полем степень числа 2. (2). Двоичный -код который представляет собой объединение различных кодов где код имеет параметры Каждый код должен быть объединением различных кодов где код имеет параметры Наконец, каждый код должен быть объединением различных кодов которые имеют параметры Таким образом,

причем Типичное кодовое слово кода будем обозначать через где индексы выбраны так, чтобы слово принадлежало коду и чтобы оно было кодовым словом кода с номером

Построение кода сводится к следующему. Образуем -риду

где первым столбцом является произвольное слово кода вторым — произвольное слово кода Теперь каждую строку этой матрицы заменяем на двоичный вектор (Чтобы сделать это, надо перенумеровать элементы каждого поля числами некоторым произвольным, но фиксированным образом.) Полученные двоичные -матрицы (рассматриваемые как двоичные векторы длины образуют новый код называемый обобщенным каскадным кодом.

Теорема 14. (Зиновьев является -двоичным кодом. (Конечно, код не обязательно линеен.)

Пример. В качестве выберем -двоичный код. Код является объединением -кода состоящего из всех слов четного веса, и -кода состоящего из всех слов нечетного веса. Каждый из кодов и является объединением 4 кодов, полученных сдвигами -кода Таким образом, Выберем также следующие коды:

Тогда представляет собой -код.

Доказательство теоремы. Не очевидна только оценка минимального расстояния. Предположим, что мы имеем две различные матрицы вида (18.27), которые различаются в столбце. Тогда они различаются в этом столбце по крайней мере в позициях. По определению оба вектора принадлежат коду и поэтому различаются по крайней мере в позициях. Следовательно, соответствующие двоичные слова кода различаются не менее чем в позициях.

Упражнения. (26). Пусть коды; -код над над Получить двоичный -код

(27). Пусть — двоичные коды; -код над -код над -код над — двоичный код. Получить (96, 233 , 24)-двоичный код .