13.11. ДЕЙСТВИЕ ПОЛНОЙ АФФИННОЙ ГРУППЫ НА МНОГОЧЛЕНАХ МЭТТСОНА—СОЛОМОНА

Определение. Аффинным многочленом называется сумма линеаризованного многочлена и константы (см. § 4.9), т. е. многочлен вида

где

Упражнение. (11). Доказать, что корни аффинного многочлена, лежащие в образуют -мерную плоскость в

Основной результат данного параграфа состоит в следующем. Теорема 27. Действие преобразования из полной аффинной группы на МС-многочлен некоторого вектора длины состоит в замене 2 на где -аффинный многочлен, имеющий в точно один корень. Обратно, любое такое преобразование МС-многочленов является результатом преобразования из группы

Доказательство. Рассмотрим произвольное преобразование из группы скажем,

где

Переменная 2 МС-многочлена связана с вектором следующим равенством:

где Следовательно, преобразуется по правилу

Далее

где а означает транспонирование.

Пусть новый базис поля Тогда

где справа стоит аффинный многочлен.

Упражнение. (12). Доказать, что многочлен (13.26) имеете поле точно один корень. Обратно, любое преобразование

такое, что -линеаризованный многочлен и имеет в точно один корень, принадлежит группе

Для доказательства этого разложим преобразование (13.27) на два. преобразование которое, очевидно, принадлежат и преобразование

Упражнение. (13). Доказать, что преобразование (13.28) принадлежит группе т. е. в некотором базисе поля имеет вид

ЗАМЕЧАНИЯ К ГЛ. 13

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)