18.7.4. КОНСТРУКЦИЯ ...

Пусть и представляют собой -двоичные коды. Новый код состоит из всех векторов

Ясно, что код длины содержащий кодовых слов, и что этот код линейный, если коды и линейные. Неизвестно никакой простой формулы для минимального расстояния кода хотя его нижняя оценка дается следующей теоремой.

Теорема 11. Для любых двоичных векторов имеет место неравенство

где — число позиций, в которых у векторов стоит 0, а у вектора стоит 1.

Упражнение. (20). Доказать теорему 11.

Теорема 12. (Турин.) Пусть обозначает [7, 4, 3]-код Хэмминга, ненулями которого являются элементы и пусть код образован кодовыми словами записанными в обратном порядке. Пусть далее коды обозначают -коды, полученные из кодов и добавлением общей проверки на

четность. Тогда код, задаваемый формулой (18.23), является -кодом Голея

Доказательство. Необходимо вычислить только минимальное расстояние. Тогда тот факт, что это код Голея, будет следовать из теоремы 14 гл. 20.

Пусть -ненулевое кодовое слово Каждый из векторов имеет вес 0, 4 или 8.

(i). Если самое большее один из векторов имеет вес 4, то

(ii). Если два из векторов имеют вес 4, то (Так как если то )

(iii). Предположим, что Если то и из теоремы 11 вытекает, что Следовательно, во всех случаях

Упражнение. (21). Обобщая теорему 12, выберем в качестве кодов -коды Рида — Маллера первого порядка, в одном из которых слова записаны в обратном порядке (за исключением позиции, соответствующей общей проверке на четность). Показать, что код имеет параметры [Указание. См. работу При получаем -код.

Задача (нерешенная). (18.5). Найти другие применения конструкции (18.23). Существуют ли другие конструкции, подобные (18.23), которые дают хорошие коды?