10.9. ИЗБЫТОЧНЫЕ ВЫЧЕТНЫЕ КОДЫ

Равенство (10.6) подсказывает также другую точку зрения на коды РС. Заметим, что цредставляет собой остаток от деления многочлена степени меньше К, соответствующего сообщению, на двучлен Поэтому мы можем так интерпретировать равенство (10.6): Сообщение кодируется в вектор

где вычет по модулю

Многочлен может быть восстановлен по своим вычетам с помощью следующей теоремы.

Теорема 5. [Китайская теорема об остатках для многочленов.) Пусть парно взаимно простые мночлены над и пусть Если произвольные многочлены над то существует единственный многочлен степени такой, что

для всех Действительно, пусть многочлен таков, что

(По следствию 15 гл. 12 такой многочлен существует.) Тогда решением системы сравнений (10.13) является многочлен

приведенный по модулю

Упражнение. (8). Сформулировать соответствующую теорему для целых чисел.

Теорема 5 показывает, что знания вычетов в выражении (10.12) достаточно для восстановления в отсутствие

шума. Таким образом, являются избыточными вычетами, которые включаются в кодовое слово для защиты от ошибок. Любой код такого типа называется избыточным вычетным кодом. Мы показали, что коды РС представляют собой избыточные вычетные коды, а в гл. 12 мы увидим, что таковыми являются также некоторые коды Гоппы. Другие примеры будут упомянуты в замечаниях к этой главе.