7.4. ПРОВЕРОЧНЫЙ МНОГОЧЛЕН

Пусть циклический код с порождающим многочленов Согласно теореме 1 многочлен делит Тогда

и

называется проверочным многочленом кода Причина такого названия кроется в следующем. Если с произвольное кодовое слово из то

Коэффициент при в этом произведении равен

где индексы берутся по модулю Уравнения (7.8) задают проверочные уравнения, которым должен удовлетворять код. Пусть

где использованы очевидные обозначения. Тогда (7.8) означает, что если то Так как размерность и так как строки очевидно, линейно независимы, то условие является также достаточным для того, чтобы вектор с принадлежал коду. Таким образом, проверочная матрица кода

Пример. Для кода Хэмминга имеем: Таким образом,

Это совпадает с (7.4).

Упражнение. (10). Для кода из задачи 7 выписать и и проверить, что эта матрица определяет тот же код, что и соотношение (3.10).

Заметим, что уравнение (7.8) означает, что кодовое слово должно удовлетворять системе проверочных уравнений:

Иными словами, с удовлетворяет линейному рекуррентному уравнению

для Таким образом, если выбрать в качестве информационных символов, то уравнение (7.12) последовательно определяет проверочные символы (так как

Дуальный код. Пусть — циклический код с порождающим многочленом и проверочным многочленом

Теорема 4. Дуальный код является циклическим кодом с порождающим многочленом

Доказательство. Утверждение вытекает из (7.9). 9

Согласно этой теореме код с порождающим многочленом эквивалентен коду 951. На самом деле он состоит из кодовых Слов кода записанных в обратном порядке.

Упражнение. (11). Показать, что [7, 4, 3]-код с порождающим многочленом и -код с порождающим многочленом дуальны.