18.7.2. КОНСТРУКЦИЯ Х4: КОМБИНИРОВАНИЕ ЧЕТЫРЕХ КОДОВ

Предположим, что у нас имеется четыре кода: -код -код -код и код 4, удовлетворяющие следующим свойствам: (i). Код является объединением различных смежных классов кода

(ii). Код является объединением различных смежных классов кода

где - некоторые подходящим образом выбранные векторы. Тогда новый код 92 состоит из всех векторов вида

Попросту говоря, векторы смежного класса кода по коду всеми возможными способами присоединяются к векторам смежного класса кода по коду (рис. 18.5).

Теорема 10. Новый код имеет параметры

Доказательство очевидно. Если все исходные коды линейны, то код также может быть превращен в линейный.

Пример. (7). Выберем в качестве кода -код Нордстрома — Робинсона (лемма 22 гл. 15), -код, состоящий из из любых четырех (из восьми) смежных классов -кода Хэмминга по коду -код -код

Рис. 18.5. Конструкция комбинирование четырех кодов

Тогда код представляет собой -код.

Дальнейшие примеры приводятся в § 18.7.3 и на рис. ПА.2 (обозначены

Сугияма и др. [1291] успешно применили конструкции и их модификации к кодам Гоппы. Большое число хороших кодов, найденных таким образом, обозначены на рис. ПА.2 буквами

Упражнение. (15). Применить конструкцию для расширения кодов БЧХ длины исправляющих ошибок. Пусть где Орсе, и пусть коды являются соответственно -кодами БЧХ. Пусть код равен объединению кода и смежных классов -кода, состоящего из всех слов четного веса, по коду Показать, что код является -кодом. В наиболее благоприятном случае, когда делится на число информационных символов в коде увеличивается на за счет добавления одного проверочного символа.