20.6. КОДЫ ГОЛЕЯ ... ЕДИНСТВЕННЫ

Теорема 14. Пусть произвольный двоичный код длины 24 с минимальным расстоянием 8. Тогда: Если то код эквивалентен коду Голея

Доказательство, (i). Это утверждение следует из границы линейного программирования (§ 17.4, см. также упражнение (16) гл. 17) или из границы сферической упаковки (теорема 6 гл. 1). (ii). Предположим, что Тогда граница линейного программирования показывает, что спектр расстояний кода равен

т. е. он такой же, что и у кода Преобразование Мак-Вильямс спектра (20.12), т. е. выражение (17.23), совпадает с (20.12). Следовательно, в предположении, что код содержит вектор О, весовой спектр кода согласно теореме 3 гл. 6 совпадает с его спектром расстояний.

Пусть слова кода Из формулы (см. равенство

вытекает, что число является четным (так как все другие члены этого равенства делятся на 4). Следовательно, каждое кодовое слово ортогонально самому себе и любому другому кодовому слову. Следующая простая лемма утверждает, что в таком случае — линейный код.

Лемма 15. Пусть взаимно ортогональные подмножества

Пусть далее Тогда А представляет собой линейный код.

Доказательство. Обозначим через линейные оболочки множеств Ясно, что взаимно ортогональны и, следовательно,

Но по условию леммы Таким образом,

Согласно теореме 22 гл. 2 кодовые слова веса 8 в представляют собой октады системы Штейнера S(5, 8, 24). По теореме 9 эта система единственна, и, как указывалось выше, она порождает код, эквивалентный Следовательно, эквивалентен коду Голея .

Следствие 16. Любой двоичный -код эквивалентен коду Голея

Доказательство. Добавим общую проверку на четность и воспользуемся теоремой 14.