8.4. ВЕСОВОЙ СПЕКТР МИНИМАЛЬНЫХ КОДОВ

Пусть невырожденный минимальный циклический -код с ненулями Кроме того, пусть наименьшее целое число, для которого выполняется это равенство. (Таким образом, Предположим, что

Пусть примитивный элемент поля Пусть — такое кодовое слово, что Тогда циклических сдвигов слова соответствуют элементам Таким образом, кодовые слова в соответствующие элементам образуют полное множество циклических представителей для и определяют весовой спектр кода

Способ нахождения циклических представителей. Рассмотрим симплексный код с ненулями Кодовые слова из будем записывать в виде многочленов от у, где Идемпотент кода равен:

Коэффициенты многочлена могут быть упорядочены в виде -таблицы:

Пусть

Теорема 11.

Таким образом, образуют множество циклических представителей кода Доказательство.

что является идемпотентом кода Далее

и, следовательно,

Ясно, что произвольный циклический сдвиг идемпотента также даст множество циклических представителей кода. Циклический сдвиг идемпотента из легко может быть сформирован на выходе соответствующего регистра сдвигов (см. рис. 14.2, 14.3).

Например, -код 94 порождается идемпотентом 000 100 110 101 111 (см. уравнение (14.1) или упражнение (7) гл. 8).

В этом случае при приобретает вид:

что сразу дает множество циклических представителей для [5, 4, 2]-кода.

Упражнение. (27). Показать, что -код имеет следующий весовой спектр:

Частный случай. Предположим, что циклические представители задаются многочленами где Ясно, что так что вес многочлена равен весу многочлена Простым частным случаем является случай, когда все многочлены имеют вес, равный весу многочлена Например, если то Таким образом, равно циклическому сдвигу слова, соответствующего элементу Следовательно, рассматриваемый код имеет только два ненулевых веса, а именно:

В общем случае, если любое простое число, для которого 2 является примитивным корнем (т. е. по модулю имеется только два циклотомических класса — то код имеет не более двух ненулевых весов, скажем состоит из слов веса являющихся циклическими сдвигами многочлена слов веса

Весовой спектр в случае, когда имеется только два ненулевых веса. Предположим, что имеет только два ненулевых веса — где вес идемпотента Минимальное расстояние дуального кода в соответствии с границей БЧХ равно 3. (И никогда не больше — почему?)

Согласно теореме 1 гл. 5

Дифференцируя дважды это выражение и полагая получаем.:

Решая эту систему относительно находим, что

Таким образом, должно быть четным, и

На рис. 8.3 приведены некоторые примеры кодов с двумя весами.

Рис. 8.3 Некоторые примеры кодов с двумя весами

Замечание. Кроме случая, является примитивным корнем по модулю имеется еще много других случаев, когда код имеет только два ненулевых веса (см. упражнение (5) гл. 15).