6.2. ЧЕТЫРЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРА КОДА

Пусть двоичный -код, не обязательно линейный, содержащий нулевой вектор 0. Предположим, что является спектром расстояний кода т. е. равно числу упорядоченных пар кодовых слов, находящихся между собой на расстоянии деленному на Поэтому (см. § 2.1).

Пусть обозначают те индексы для которых

Тогда представляет собой минимальное расстояние кода число различных (ненулевых) значений расстояния между словами этою кода.

Пусть - преобразование Мак-Вильямс спектра определяемое условием (см. § 5.5)

или, что эквивалентно, уравнениями (5.35) или (5.36). Предположим, что обозначают те индексы для которых и

Назовем число внешним расстоянием кода а число дуальным расстоянием В теореме 8 гл 5 мы убедились, что является наибольшим числом таким, что каждое -подмножество координат кода содержит все возможные -векторы одинаковое число раз

Обозначим через весовой спектр кода где число кодовых слов веса а через преобразование Мак-Вильямс спектра

Лемма 1. Число ненулевых не превосходит а число ненулевых не превосходит и

Доказательство. Утверждения относительно следуют из определений параметров Утверждения относительно следуют из теоремы 7 гл 5

Предположим теперь, что мы изменили начало отсчета, т. е. заменили код на код где кодовое слово Новый код по прежнему является -кодом со спектром расстояний возможно, с другим весовым спектром, скажем, Однако лемма 1 остается справедливой и для

Замечание Если линейный код, то весовой спектр кода весовой спектр дуального кода минимальное расстояние кода

В этой главе прежде всего мы изучим интересные свойства кодов, для которых либо либо Приведем несколько примеров таких кодов

(Е1) Код состоящий из всех слов четного веса, дуальным которому является -код с повторением Здесь Симплексный -код дуален -коду Хэмминга Здесь

Упражнения (1) Рассмотреть более общий случай — -код Адамара из § 2 3 (где и показать, что

3) Код Рида-Маллера первого порядка (см § 19), дуальным которому является расширенный -код Хэмминга Здесь

(2) Показать, что код Адамара имеет эти же параметры Для расширенного самодуального -кода Голея (§ 2 6) имеем

(Е.5) Для -кода Нордстрома-Робинсона (§ 2.8) имеем (см конец § 5 5)

Другие примеры (включающие некоторые квадратично-вычетные коды, коды Кердока и Препарата) можно будет найти в дальнейших главах

(3). Показать, что у кода для всех выполняется равенство однако этот код неинвариантен относительно расстояния.