Глава 7. Циклические коды

7.1. ВВЕДЕНИЕ

Наиболее изученными среди всех кодов являются циклические коды, так как они легко кодируются и содержат важное семейство кодов БЧХ. Кроме того, они используются для построения многих других кодов, как, например, кодов Кердока, Препараты и Юстесена (см. следующие главы).

Глава начинается с определения циклического кода как идеала в кольце многочлена по модулю многочлена Циклический код длины над GF(q) состоит из всех кратных порождающего многочлена который является нормированным многочленом наименьшей степени в коде и делит многочлен (§ 7.3). Многочлен называется проверочным многочленом кода (§ 7.4).

В § 7.5 изучается разложение многочлена Всюду предполагается, что числа взаимно просты. При этом условии все корни многочлена лежат в поле где наименьшее положительное целое число такое, что делит

В конце § 7.3 доказывается, что коды Хэмминга и коды БЧХ с исправлением двух ошибок являются циклическими. В § 7.6 дается общее определение кодов БЧХ над с исправлением ошибок. В § 7.7 вводится общее определение кода над задаваемое матрицей над . В последнем параграфе описывается техника кодирования циклических кодов.

Дальнейшие свойства циклических кодов раскрываются в последующих главах.