18.4. ДРУГОЙ СПОСОБ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НЕПРИВОДИМЫХ ЦИКЛИЧЕСКИХ кодов В ВИДЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ КОДОВ

В обозначениях § 18.3, если то . Однако код может быть представлен в виде произведения кодов другим способом.

Теорема 4. Всегда можно найти неприводимые циклические коды над полем такие, что

и

Как и в гл. 10, если обозначает -код над то следом является двоичный -код, состоящий из всех различных кодовых слов где

Доказательство. Чтобы найти коды и поступим следующим образом. Ненулями кода являются элементы соответствующие циклотомическому смежному классу по модулю Над этот класс расщепляется на циклотомических смежных классов:

Идемпотенты над соответствующие этим смежным классам, определяются условием

где

Тогда согласно теореме 6 из гл. 8

где

Порождающий идемпотент самого кода равен:

где

Тогда из приведенных выше определений вытекает, что

Таким образом, Далее представляет собой -код над с ненулями

Применим к коду технику предыдущего параграфа. Как и раньше, где Тогда слово кода может быть представлено как -матрица, в которой каждый столбец принадлежит циклическому коду с ненулями а каждая строка принадлежит -циклическому коду с ненулями Так как числа взаимно просты, то и

Пример (3). (Продолжение.) Пусть является -кодом с который был рассмотрен выше. Положим — примитивный элемент Порождающие идемпотенты представлены на рис. 18.3

Рис. 18.3 Порождающие идемпотенты -кода

Идемпотент расположим в виде матрицы размера

Таким образом, что представляет собой произведение порождающих

идемпотентов кодов Эти коды являются и -кодами над Аналогично представляется в виде матрицы

Ясно, что

Упражнения. (9). Показать, что оба кода

равны другому [15, 4, 8]-коду.

(10). Используя описанный выше метод, представить в виде произведений невырожденные неприводимые коды длины (Нужные для этого порождающие идемпотенты приведены на рис. 8.1.)