2.4. КОНФЕРЕНС-МАТРИЦЫ

Эти матрицы подобны матрицам Адамара, но определяются другим уравнением. Они также приводят к хорошим нелинейным кодам. Вкратце остановимся на этом вопросе.

Определение. Конференс-матрица С порядка представляет собой -матрицу с нулевой главной диагональю и с элементами и —1 в других ячейках, которая удовлетворяет условию

(Название для этих матриц возникло из-за их использования в сетях связи с одинаковым затуханием между каждой парой терминалов.) Иногда эти матрицы называются С-матрицами.

Свойства С-матриц. (1). Как и матрицы Адамара, матрицу С можно нормализовать умножением строк и столбцов на —1, так чтобы матрица С имела вид

где квадратная матрица порядка удовлетворяющая соотношениям

Например, нормализованные Конференс-матрицы порядков 2 и 4 изображены на рис. 2.9.

Рис. 2.9. Конференс-матрицы порядков 2 и 4

(2). Если матрица С существует, то должно быть четным. Если то матрица С может быть приведена к симметрическому виду умножением строк и столбцов на —1; если же то С может быть приведена к кососимметрическому виду.

(3). Наоборот, если существует симметрическая конференс-матрица С, то и число представимо в виде суммы двух квадратов:

где целые числа. Если же существует кососимметрическая матрица С, то или (Для доказательства этих свойств см. работы Дельсарта и др. [366] и Белевича

Известно несколько способов построения таких матриц. Наиболее полезным для наших целей является следующий способ. Метод построения С-матриц. (Пейли.) Пусть где простое нечетное число. Как и в § 2.3, определим -матрицу Джекобстола где Так как то матрица в силу свойства симметрична. Поэтому матрица

является симметрической конференс-матрицей порядка

Примеры, (i). Пусть Квадратичными вычетами по модулю 5 являются числа 1 и 4, и описанный выше метод построения дает первую матрицу, показанную на рис. 2.10.

(ii). Пусть Пусть элементами поля Галуа задаваемого многочленом являются (см. гл. 4). Квадратичными вычетами в этом поле являются элементы 1, 2, а . Тогда наш метод дает вторую матрицу, изображенную на рис. 2.10.

Описанный выше метод построения дает симметрические копференс-матрицы порядков Матрицы порядков не существуют в силу свойства (3). Предложенный недавно Мэтоном [1477] способ построения дает такие матрицы порядков

Коды, полученные из конференс-матриц. Пусть симметрическая конференс-матрица порядка (так что n=2(mod4)) и пусть матрица определяется соотношением (2.17). Тогда строки двух матриц а также нулевой вектор и вектор из всех единиц образуют нелинейный матрично-конференсный код Тот факт, что минимальное расстояние в этом коде равно следует из уравнения (2.18).

Рис. 2.10. Симметрические конференс-матрицы порядков 6 и 10

Пример. Изображенная на рис. 2.10 конференс-матрица задает -код показанный на рис. 2.11. (Нулевое кодовое слово может быть заменено на вектор веса 1 без уменьшения минимального расстояния в этом коде. Следовательно, существуют по крайней мере два неэквивалентных кода с параметрами

Этот важный код впервые был построен Голеем [509] другим способом. В § 2.7 дадим два других способа построения кодов с параметрами (9, 20, 4). В § 2.8 -код, изображенный на рис. 2.11, будет использован для построения бесконечного семейства нелинейных кодов, исправляющих одну ошибку.

Несколько первых нелинейных матрично-конференсных кодов имеют следующие параметры:

Задача (нерешенная). (2.2). Так как больше чем то граница Плоткина неприменима к этим кодам. Однако, как мы видим в гл. 17, (9, 20, 4)-код оптимален в том смысле, что имеет наибольшее число кодовых слов для заданной длины и заданного расстояния. (Таким образом, Мы предполагаем, что все эти коды, кроме первого и третьего, оптимальны в том же смысле.

(Существуют (5, 16, 2) линейный код и (13, 32, 6) нелинейный код — см. § 2.8.)

Рис. 2.11. Нелинейный матрично-конференсный (9, 20, 4)-код