(теорема 8). Несмотря на то что в общем случае задача описания весового спектра произвольного РМ-кода не решена, в § 15.3 мы приводим без доказательства два общих результата по этому вопросу. Первым из них является формула Касами и Токуры для числа слов в коде 
вес которых строго меньше чем 
(теорема 11). Второй результат дается теоремой Мак-Элиса о тем, что вес произвольного слова кода 
кратен 
(следствие 13).
В § 15.4 выводятся формулы для весовых спектров некоторых интересных малых подкодов кода 
в частности для кода, дуального к коду БЧХ и исправляющего две ошибки (см. рис. 15.3 и 15.4).
В § 15.5 строится максимальное множество симплектических форм, обладающее тем свойством, что ранг суммы любых двух форм из этого множества не меньше чем 
Соответствующие подкоды кода 
имеют несколько интересных свойств. Эти подкоды линейны, если 
нечетно; но при четных 
они являются нелинейными обобщенными кодами Кердока 
При 
код 
равен коду Кердока 
Первый из кодов Кердока 
эквивалентен 
-коду Нордстрома-Робинсона 
, приведенному в гл. 2. Вскоре после открытия кода 
Препарата успешно обобщил этот код и построил бесконечное семейство кодов 
с параметрами 
для всех четных 
(см. рис. 15.12). После этого в 1972 г. Кердок открыл коды 
Они имеют параметры 
и являются дуальными к кодам 
в том смысле, что весовой спектр (или спектр попарных расстояний) кода 
задается преобразованием Мак-Вильямс от весового спектра кода 
(см. рис. 15.6). Оказалось, что при той же длине и том же минимальном расстоянии коды 
содержат по меньшей мере вдвое больше слов, чем лучшие линейные коды.
Коды 
были открыты Дельсартом и Геталсом. В последнем параграфе мы описываем коды 
найденные Геталсом, которые в некотором смысле дуальны кодам 
Конструкции кодов 
существенно используют развитый в предыдущих главах алгебраический аппарат, например групповую алгебру и аннулирующий многочлен из гл. 5 и идемпотенты и многочлены Мэттсона-Соломона из гл. 8.
представляет собой объединение смежных классов по коду первого порядка 
и что эти смежные классы находятся во взаимно-однозначном соответствии с симплектическими формами (теорема 1). Симплектическая форма определяется булевой функцией от 
переменных 
вида 
где 
двоичная симметрическая матрица с нулевой диагональю Ранг этой матрицы называется рангом симплектической формы и рангом смежного класса и однозначно определяет весовой спектр смежного класса (теорема 5). В § 15.2 дается перечисление симплектических форм по рангам и, следовательно, определяется весовой спектр кода 
