5.3. ГРУППОВАЯ АЛГЕБРА

Нашей целью является описание двоичных векторов длины посредством многочленов от переменных Например, вектор будет представляться через вектор через . В общем случае вектор представляется многочленом который мы обозначим как Ясно, что если мы знаем то можем узнать и Таким образом, многочлен представляет собой весовую функцию кода выписанную в несколько необычной форме. (Мы снова воспользуемся этой формой весовой функций в § 5.6 для кодов над Условимся, что для всех Это превращает множество всех многочленов в мультипликативную группу, обозначаемую через Таким образом, группы изоморфны, причем операция сложения в

соответствует умножению в

Определение. Групповая алгебра группы над полем рациональных чисел состоит из всех формальных сумм вида

Сложение и умножение элементов определяются естественным образом:

Подмножества из или коды могут быть представлены как элементы алгебры коду соответствует элемент

групповой алгебры Например, коду соответствует элемент

В общем случае может оказаться полезным рассматривать элементы как «обобщенные коды» в следующем смысле:

коэффициент показывает, сколько раз вектор встречается в «коде».

Упражнение. (10). Для показать, что

Одним из достоинств, вытекающих из введения групповой алгебры, является возможность кратко формулировать некоторые свойства кодов. Пусть

представляет собой все векторы из веса Например,

Шар радиуса описанный вокруг точки представляется тогда элементом

Если является совершенным -кодом, то этот факт выражается тождеством

где

Пример. Для совершенного кода исправляющего одну ошибку, и действительно,

Упражнение. (11). На языке групповой алгебры описать следующие методы построения кодов: прямую сумму кодов и конструкцию типа