5.7. СВОЙСТВА МНОГОЧЛЕНОВ КРАВЧУКА
Результаты § 5.3-5.5, имеющие дело с весовыми функциями нелинейных кодов, также могут быть обобщены на случай поля GF(q). Для этого требуются многочлены Кравчука несколько более общего вида; их мы и рассмотрим в этом разделе.
Определение. Для любой степени простого числа 
и натурального числа 
определим многочлен Кравчука
где 
, а биномиальные коэффициенты определены в упражнении (18) гл. 1. Производящая функция этих многочленов имеет вид
Если 
целое число, заключенное в пределах Охге, то верхний предел суммирования в (5.54) может быть заменен на 
Теорема 15. (Другие формулы для 
Доказательство, (i). Ясно, что
Коэффициент при 
в этом выражении представляет собой многочлен Кравчука:
(ii). Доказательство аналогично; надо лишь воспользоваться следующим равенством:
Таким образом, 
является многочленом степени 
от 
с коэффициентом при старшем члене 
и свободным членом
Теорема 16. (Соотношения ортогональности.) Для неотрицательных целых чисел 
верна формула
где 
символ Кронекера: 
если 
если 
Доказательство. Левая часть (5.58) представляет собой коэффициент при 
в выражении
Теорема 17. Для неотрицательных целых чисел 
справедливо равенство
Доказательство. Утверждение теоремы сразу же следует из (5.53) преобразованием биномиальных коэффициентов.
Следствие 18.
Доказательство. Это равенство непосредственно вытекает из теорем 16 и 17.
Теорема 19. (Рекуррентное соотношение.) Многочлены Кравчука удовлетворяют следующему трехчленному рекуррентному соотношению:
для 
с начальными условиями 
Доказательство. Продифференцируем выражение (5.54) по 
умножим обе части на 
и приравняем коэффициенты при 
Теорема 20. Если многочлен 
степени 
разложен по многочленам Кравчука
то коэффициенты этого разложения вычисляются по формуле
Доказательство. Умножим обе части (5.61) на 
положим 
просуммируем по 
от 0 до 
а затем воспользуемся следствием 
Упражнения. (41). Показать, что
(42). Показать, что 
В дальнейших упражнениях 
(43). Показать, что 
(44). Показать, что 
(45). Показать, что
(46). Показать, что для неотрицательных целых чисел 
выполняется рекуррентная формула
[Указание. Воспользоваться теоремами 17 и 19.]
(47). Так как многочлены Кравчука образуют семейство ортогональных многочленов (теорема 16), то многие из результатов
книги Сеге [1297] применимы к ним. Например, доказать формулу Кристоффеля-Дарбу (ср. с теоремой 3 2.2 работы [1297]):
[Указание. Используя теорему 19 показать, что
а затем просуммировать по t]
ЗАМЕЧАНИЯ К ГЛ. 5
(см. скан)
