20.7. ГРУППЫ АВТОМОРФИЗМОВ ТРОИЧНЫХ КОДОВ ГОЛЕЯ

В этом разделе мы покажем, что группа автоморфизмов изоморфна группе Матье Напомним из гл. 16, что если троичный код, то группа состоит из всех мономиальных матриц А (матриц перестановок, ненулевые элементы которых равны ±1), которые оставляют код неизменным, причем группа

представляет собой фактор-группу, полученную отождествлением матриц А и —А. Таким образом,

Обозначения. Координаты кода занумеруем символами множества и пусть . В качестве порождающей матрицы кода выберем матрицу

где циркулянтная -матрица, первая строка которой соответствует многочлену

т. е. является вектором где вместо мы пишем (Проверьте, что эта матрица порождает, код см. с. 469.)

Из теоремы 12 гл. 16 следует, что инвариантен относительно группы, изоморфной которая порождается преобразованиями где перестановки

мономиальное преобразование, которое переводит элемент, находящийся в позиции в позицию — умножив его на 1, если или и на —1, если или

Кроме того, код инвариантен относительно перестановки

Действительно, легко проверить, что если является строкой матрицы (20.13), то

где

Мономиальную группу, порожденную перестановками будем обозначать через мы показали, что

Определение. Группа Матье представляет собой группу перестановок на множестве полученную из группы если не учитывать знаки элементов. Таким образом, порождается где перестановка переводит элемент из позиции в позицию Ясно, что группа изоморфна группе

Проводя доказательства, аналогичные доказательствам теорем 2 и 4, получаем теоремы 17 и 18.

Теорема 17. Группа -транзитивна и имеет порядок

Теорема 18. Группа является полной группой автоморфизмов

Следствие 19. Группа изоморфна группе Матье образованной перестановками группы оставляющими неподвижной некоторую точку из Группа представляет собой -транзитивную группу порядка 11-10-9-8.

Упражнение. (17). Показать, что подгруппа группы относительно которой инварианта некоторая додекада, изоморфна группе