21.5. СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ ФОРМЫ

В этом разделе мы построим схемы отношений симплектических форм, которые существенны при изучении подкодов кодов Рида — Маллера второго порядка (см. гл. 15).

Множество X состоит из всех двоичных симплектических форм от переменных или, что эквивалентно, из всех симметричных двоичных матриц с нулевой диагональю (см. § 15.2). Таким образом, По определению если и только если ранг матрицы равен где Число симплектических форм ранга т. е. число дается теоремой 2 гл. 15. Пусть обозначает матрицу смежности отношения

Докажем, что мы ввели схему отношений, показав выполнение условий (21.3) — (21.5), и построим одновременно соответствующую алгебру Боуза — Меснера. Изложение аналогично изложению схемы Хэмминга, но использует гауссовские биномиальные коэффициенты при (см. упражнение (3) гл. 15).

Определим внутреннее произведение матриц

Упражнение. (7). Показать, что

Теорема 7. Если ранг матрицы равен то

где нечетное) или четное).

Схема доказательства. Вначале мы покажем, что сумма

зависит только от ранга матрицы х. Если невырожденная -матрица, то отображение действует как подстановка на множестве симплектических матриц, которая сохраняет ранг. Следовательно,

Кроме того, По теореме 4 гл. 15 находится матрица такая, что

где

и всего на диагонали имеется таких матриц Тогда

что зависит только от

Следующий шаг состоит в доказательстве рекуррентного соотношения для

Соотношение (21.34) следует из теоремы 2 гл. 15, и затем индукцией по получаем

Пусть и пусть матрица, полученная из заменой первой матрицы на матрицу

Тогда

(здесь соответствующий элемент матрицы

Далее где матрицы размера

Если

где представляет собой симплектическую матрицу ранга Таким образом,

Далее либо матрица равна нулевой матрице, либо ее ранг равен 2. Согласно упражнению (8) число матриц таких, что равно а число матриц таких, что фиксированная матрица ранга 2, равно 6. Таким образом,

Объединяя выражения (21.36) и (21.38), получаем рекуррентное соотношение (21.35). Наконец, выражение (21.32) представляет собой решение рекуррентных соотношений (21.34) и (21.35); детали мы опускаем.

Обозначим правые части выражений (21.32) через так как окажется, что они являются собственными значениями схемы.

Определим матрицы с помощью равенства

Рассуждения, аналогичные тем, которые мы использовали при доказательстве теоремы 5, показывают, что матрицы удовлетворяют свойствам (21.8) — (21.10) и, следовательно, являются примитивными идемпотентными матрицами и что

где определяются выражением (21.32).

Лемма 8.

Доказательство. Вычислим двумя способами сумму

Теорема 9. (Соотношение ортогональности.)

Доказательство. Сначала вычислим двумя способами сумму

а затем воспользуемся упражнением (7).

Согласно лемме 8 и теореме 9

следовательно, матрица элемент которой равен удовлетворяет условию откуда Таким образом, из (21.40) вытекает, что

Пусть — коммутативная алгебра, порожденная матрицами Из условия (21.10) следует, что ее размерность равна и из равенств (21.40) и (21.41) следует, что матрицы также образуют базис. Поэтому соотношения (21.3) — (21.5) выполняются и тем самым мы ввели схему отношений. Согласно (21.40), (21.41) собственные значения определяемые выражениями (21.11), (21.15), действительно задаются выражением (21.32), как и утверждалось.

Упражнения. (8). Показать, что: (i) число матриц вида (21.37) таких, что равно если то имеется точно 6 матриц таких, что

(9). Показать, что многочлен степени относительно переменной следовательно, в силу теоремы 6 наша схема является метрической схемой отношений.