12.7. ОБОБЩЕНИЕ ЧЕНЯ—ЧОЯ КОДОВ БЧХ
Эти коды представляют собой другой частный класс альтернантных кодов и определяются в терминах двух многочленов 
(рис. 12.5). Пусть 
взаимно просты, и пусть 
-наименьшее расширение поля 
содержащее все корни степени 
из единицы.
Рис. 12.5 Свойства обобщения Ченя — 
кодов БЧХ - ОБЧХ 
Определение. Обобщение 
кода БЧХ длины, 
над полем 
ассоциированное с многочленами 
-определяется следующим образом. Пусть 
многочлены с коэффициентами из поля 
степени которых соответственно удовлетворяют условиям 
и которые взаимно просты с 
Тогда 
-код состоит из всех многочленов 
с коэффициентами из GF(q) таких, что степень их не превосходит 
и их МС-многочлены 
удовлетворяют сравнению
Например, двоичный код 
совпадает с кодом Гоппы 
у которого множество 
состоит из всех корней степени 
из единицы (см. следствие 8).
Проверочная матрица кода 
находится следующим образом.
такой, что 
(из теоремы 22 гл. 8) 
с коэффициентами из 
такой, что 
где 
получаются из 
путем обращения преобразования (8.9).
такие, что 
(Заметим, что, по предположению, 
для всех 
Другими словами, 
тогда и только тогда, когда Нат 
где
Таким образом, 
проверочная матрица рассматриваемого кода. Отсюда видно, что 
-код является альтернантным кодом, у которого в качестве множества 
выбраны все корни степени 
из единицы и 
Следовательно, код 
имеет параметры 
где 
Если 
то код 
является кодом БЧХ, так как в этом случае его проверочная матрица, как нетрудно увидеть, равна
т. е. равна проверочной матрице кода БЧХ (7.19).
Если 
то код 
содержит пересечение соответствующих кодов БЧХ и может совпадать с этим пересечением.
Например, пусть 
Тогда проверочная матрица равна
и определяет [15, 10, 4]-код БЧХ с идемпотентом 
(см. упражнение (7) гл. 8). Если 
то проверочная матрица равна
Это определяет [15, 9]-код БЧХ, порожденный идемпотентом 
Код 
имеет проверочную матрицу
Если записать эту матрицу в двоичном виде, то видно, что одну строку можно выкинуть; следовательно, матрица определяет код размерности 8, который на самом деле представляет собой циклический код с нулями 
порожденный идемпотентом 
Так как рассмотренный код является примером циклического кода, не являющегося кодом БЧХ, то из следствия 9 получаем, что в классе альтернантных кодов содержатся циклические коды, отличные от кодов Гоппы. Дальнейшие свойства кодов 
и дополнительные примеры дадим в виде упражнений (см. также [286]).
Упражнения. (20). Доказать, что 
тогда и только тогда, когда 
(21). Доказать, что 
где 
Таким образом, этот код может быть определен в терминах многочлена 
без введения многочлена 
Однако определение кода через два различных многочлена упрощает его анализ.
