Глава 8. Циклические коды (продолжение): идемпотенты и многочлены Мэттсона-Соломона

8.1. ВВЕДЕНИЕ

В этой главе продолжается исследование циклических кодов, начатое в гл. 7. В § 7.2 мы видели, что циклический код состоит из всех кратных порождающего многочлена

Другим полезным многочленом, принадлежащим всякому циклическому коду, является его идемпотент определяемый равенством (§ 8.2). (Иногда оказывается легче найти идемпотент, чем порождающий многочлен.) Наименьшие циклические коды являются минимальными идеалами (§ 8.3). Они представляют интерес по нескольким причинам: (i). Любой циклический код представляет собой сумму минимальных идеалов (теорема 7). (ii). Минимальный идеал изоморфен полю (теорема 9). (iii). Минимальные идеалы содержат важное семейство симплексных кодов.

Группа автоморфизмов кода (т. е. множество всех перестановок координат, относительно которых код инвариантен) рассматривается в § 8.5. Эта группа играет важную роль при выяснении структуры кода и его декодировании.

Полезным аппаратом для вычисления весового спектра кода является преобразование Мэттсона — Соломона (МС-многочлен) (§ 8.6). В последнем параграфе главы это преобразование используется для вычисления весов некоторых циклических кодов.

Во всей главе обозначает циклический код над GF(q) длины где взаимно просты. Как и в § 7.5, - мультипликативный порядок по модулю — примитивный корень степени из единицы. Также кольцо всех многочленов с коэффициентами из степень которых .